У ткани из борных волокон с переплетением 0/90 Кренчелевский коэффициент равен 0,5 при нагрузке вдоль основы. Найдите коэффициент эффективности с точностью до тысячных при нагрузке под углом 31° к основе.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим исходное значение при $0^\circ$ для определения долей волокон. Кренчелевский коэффициент для набора направлений волокон задаётся формулой

   $\eta_\theta=\sum_n a_n\cos^{4}\theta_n$

   где $a_n$ — доля волокон в направлении $n$. При $0^\circ$ имеем $a_0\cos^4 0^\circ+a_{90}\cos^4 90^\circ=a_0$. Так как это значение равно $0{,}5$, ткань сбалансирована: $a_0=a_{90}=0{,}5$.

2. 2

   Определим углы между направлением нагрузки и каждым семейством волокон. Нагрузка под $31^\circ$ к основе означает, что основные волокна под углом $\theta_0=31^\circ$, а уточные, перпендикулярные основе, — под

   $\theta_{90}=90^\circ-31^\circ=59^\circ$

3. 3

   Запишем сумму для коэффициента.

   $\eta_\theta=0.5\cos^{4}(31^\circ)+0.5\cos^{4}(59^\circ)$

4. 4

   Вычислим каждое слагаемое.

   $\cos 31^\circ=0.857167\Rightarrow\cos^{4}31^\circ=0.539837$

   $\cos 59^\circ=0.515038\Rightarrow\cos^{4}59^\circ=0.070365$

5. 5

   Сложим и округлим результат.

   $\eta_\theta=0.5(0.539837+0.070365)=0.5(0.610202)=0.305101$

   $\boxed{\eta_\theta=0.305}$

6. 6

   Проверим результат по граничным случаям. При $0^\circ$ (или $90^\circ$) коэффициент равен $0{,}5$, а при $45^\circ$ — $0.5\cos^4 45^\circ\times 2=0.5\times 0.25\times 2=0.25$, что является минимумом. Полученное значение $0{,}305$ лежит между этими пределами и, поскольку угол ближе к $45^\circ$, результат логично ближе к нижней границе.