Найдите расстояние между точкой (1, 4) и прямой (0,0) + a·(3, 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем расстояние до произвольной точки прямой. Точка прямой $\ell$ имеет вид $(3a,a)$, поэтому

   $d(a)=\sqrt{(1-3a)^2+(4-a)^2}=\sqrt{1-6a+9a^2+16-8a+a^2}=\sqrt{10a^2-14a+17}$

   Эта функция отвечает на вопрос «как далеко $P$ от точки с параметром $a$» — а расстояние до прямой есть её минимальное значение.

2. 2

   Найдём минимум квадратного трёхчлена под корнем. Квадратный корень — возрастающая функция, поэтому минимизировать $d(a)$ — то же самое, что минимизировать $q(a)=10a^2-14a+17$, вершина которого находится при

   $a=-\frac{-14}{2(10)}=\frac{14}{20}=0.7$

   Это тот же $a$, что дала бы ортогональная проекция: $\tfrac{\mathbf p\cdot\mathbf d}{\mathbf d\cdot\mathbf d}=\tfrac{3+4}{10}=0.7$.

3. 3

   Подставим вершину.

   $q(0.7)=10(0.49)-14(0.7)+17=4.9-9.8+17=12.1\;\Longrightarrow\;d=\sqrt{12.1}\approx 3.4785$

4. 4

   Подтвердим через «векторное произведение» на плоскости. На плоскости расстояние от $P$ до прямой, проходящей через начало координат с направлением $\mathbf d=(3,1)$, равно

   $d=\frac{\left|p_xd_y-p_yd_x\right|}{\|\mathbf d\|}=\frac{|1\cdot 1-4\cdot 3|}{\sqrt{10}}=\frac{11}{\sqrt{10}}\approx 3.4785$

   и действительно $\left(\tfrac{11}{\sqrt{10}}\right)^2=\tfrac{121}{10}=12.1\;\checkmark$, что в точности совпадает с минимумом трёхчлена.

5. 5

   Сформулируем ответ аккуратно. Если в задаче спрашивается расстояние до всей прямой, ответ таков:

   $d=\frac{11}{\sqrt{10}}=\frac{11\sqrt{10}}{10}\approx 3.4785$

   Если же имелся в виду конкретный параметр $a$, то расстояние задаётся функцией $\sqrt{10a^2-14a+17}$, которая при $a=0$ равна $\sqrt{17}\approx 4.12$ и неограниченно растёт при $|a|\to\infty$.