Калькулятор формулы расстояния

Формула расстояния вычисляет расстояние по прямой между двумя точками в координатном пространстве. Это прямое следствие теоремы Пифагора, применённой к прямоугольному треугольнику, образованному горизонтальным и вертикальным смещением между точками.

2D-форма — для точек $P_1 = (x_1, y_1)$ и $P_2 = (x_2, y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

3D-форма — для точек $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

$n$-мерная форма (евклидово расстояние):

$d = \sqrt{\sum_{i=1}^n (b_i - a_i)^2}$

Это естественно обобщается на любое число измерений, поэтому именно это понятие «расстояния» является основным в физике, статистике и машинном обучении.

Пошагово

1. Обозначьте точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$. Любое назначение подходит — формула симметрична.
2. Вычислите разности: $\Delta x = x_2 - x_1$, $\Delta y = y_2 - y_1$.
3. Возведите их в квадрат: $(\Delta x)^2$ и $(\Delta y)^2$.
4. Сложите: $(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$.
5. Извлеките квадратный корень: $d = \sqrt{\text{сумма}}$.
6. Упростите радикал, если возможно (например, $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$).

Геометрический вывод

Проведите горизонтальный отрезок от $(x_1, y_1)$ до $(x_2, y_1)$ — длина $|x_2 - x_1|$.
Проведите вертикальный отрезок от $(x_2, y_1)$ до $(x_2, y_2)$ — длина $|y_2 - y_1|$.
Исходный отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника с этими двумя катетами, поэтому по теореме Пифагора:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Извлечение квадратного корня даёт формулу расстояния. Модули не нужны, потому что возведение в квадрат убирает знак.

Связанные формулы

• Середина отрезка: $M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ — среднее координат.
• Угловой коэффициент: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ — использует те же разности, что и формула расстояния.
• Расстояние от точки до начала координат: $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ (частный случай с $(x_1, y_1) = (0, 0)$).

Манхэттенское расстояние (для сравнения)

Обратите внимание, что формула выше — это евклидово расстояние. Манхэттенское расстояние $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$ измеряет перемещение по сетке (без диагоналей). Это разные метрики — убедитесь, что знаете, какая нужна в вашей задаче.

• Забывают возводить в квадрат: $d \ne (x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)$. Квадраты (и квадратный корень) существенны.
• Ошибки знака: $(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$, поэтому порядок вычитания не имеет значения — но только благодаря квадрату. Не пропускайте квадрат, потому что вы «видите» разность.
• Забывают извлечь квадратный корень: $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ — это $d^2$, а не $d$. Многие останавливаются на шаг раньше.
• Не упрощают радикал: $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Оставлять как $\sqrt{8}$ технически верно, но обычно снижают оценку на экзаменах.
• Смешивают 2D и 3D: если задача в 3D, включите член $(z_2 - z_1)^2$. Если 2D, не выдумывайте член с $z$.