Найдите расстояние от точки (1, 4, −1) до прямой (0,0,0) + a·(3, 1, 2).

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем формулу через векторное произведение. Для прямой, проходящей через точку $Q$ с направлением $\mathbf d$, расстояние от $P$ равно

   $d=\frac{\left\|\overrightarrow{QP}\times\mathbf d\right\|}{\|\mathbf d\|}$

   Здесь $Q$ — начало координат, поэтому $\overrightarrow{QP}=\mathbf p=(1,4,-1)$ и $\mathbf d=(3,1,2)$. Геометрически числитель — площадь параллелограмма, натянутого на два вектора, а деление на основание $\|\mathbf d\|$ оставляет высоту, которая и есть искомое расстояние.

2. 2

   Вычислим векторное произведение.

   $\mathbf p\times\mathbf d=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ 1&4&-1\\ 3&1&2\end{vmatrix}=\left(4\cdot 2-(-1)\cdot 1,\;(-1)\cdot 3-1\cdot 2,\;1\cdot 1-4\cdot 3\right)=(9,\,-5,\,-11)$

   Средняя компонента содержит минус, встроенный в разложение определителя, — именно там и концентрируются ошибки в знаках.

3. 3

   Найдём обе длины.

   $\left\|\mathbf p\times\mathbf d\right\|=\sqrt{81+25+121}=\sqrt{227},\qquad \|\mathbf d\|=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}$

4. 4

   Разделим и получим расстояние.

   $d=\frac{\sqrt{227}}{\sqrt{14}}=\sqrt{\frac{227}{14}}\approx\sqrt{16.2143}\approx 4.0267$

5. 5

   Сверим с методом проекции. Основание перпендикуляра отвечает параметру

   $a^{*}=\frac{\mathbf p\cdot\mathbf d}{\mathbf d\cdot\mathbf d}=\frac{3+4-2}{14}=\frac{5}{14}$

   то есть точке $\tfrac{5}{14}(3,1,2)=(1.0714,\,0.3571,\,0.7143)$. Расстояние от $P$ до неё равно $\sqrt{(1-1.0714)^2+(4-0.3571)^2+(-1-0.7143)^2}=4.0267\;\checkmark$ — то же значение, полученное независимым путём.