Найдите точку на прямой (0,0) + a·(3, 1), ближайшую к точке (1, 4).

Step-by-step solution

1. 1

   Используем ортогональное проектирование. Ближайшая точка на прямой, проходящей через начало координат, находится как проекция $\mathbf p$ на направление $\mathbf d$:

   $\operatorname{proj}_{\mathbf d}\mathbf p=\frac{\mathbf p\cdot\mathbf d}{\mathbf d\cdot\mathbf d}\,\mathbf d$

   Ключевое свойство: остаточный вектор $\mathbf p-\operatorname{proj}_{\mathbf d}\mathbf p$ перпендикулярен $\mathbf d$; именно эта перпендикулярность обеспечивает наименьшее расстояние.

2. 2

   Вычислим оба скалярных произведения. При $\mathbf p=(1,4)$ и $\mathbf d=(3,1)$:

   $\mathbf p\cdot\mathbf d=1(3)+4(1)=7,\qquad \mathbf d\cdot\mathbf d=9+1=10$

3. 3

   Находим параметр и саму точку.

   $a=\frac{7}{10}=0.7\;\Longrightarrow\;\text{ближайшая точка}=0.7(3,1)=\left(\frac{21}{10},\,\frac{7}{10}\right)=(2.1,\,0.7)$

4. 4

   Проверим перпендикулярность. Остаточный вектор от найденной точки до $P$ равен

   $(1,4)-(2.1,0.7)=(-1.1,\,3.3)$

   Его скалярное произведение с направлением: $(-1.1)(3)+(3.3)(1)=-3.3+3.3=0\;\checkmark$. Нулевое скалярное произведение — это не просто свидетельство, а доказательство: ни одна другая точка на прямой не обладает этим свойством.

5. 5

   Вычислим минимальное расстояние как побочный результат.

   $\left\|(-1.1,\,3.3)\right\|=\sqrt{1.21+10.89}=\sqrt{12.1}\approx 3.4785$

   Проверка соседних значений параметра подтверждает минимум: при $a=0.6$ расстояние $\sqrt{12.2}\approx 3.493$, а при $a=0.8$ — также $\sqrt{12.2}$, оба больше, чем $\sqrt{12.1}$.