Сумма 4 400 долларов вложена под ежегодную капитализацию. Через 5 лет на счёте 5 790 долларов. Какова была годовая процентная ставка?

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем формулу сложных процентов. Для процентов, начисляемых раз в год,

   $A=P(1+r)^t$

   где $P=4400$ — начальная сумма, $A=5790$ — итоговый баланс через $t=5$ лет, а $r$ — годовая ставка (доля единицы). Всё известно, кроме $r$, — задача сводится к алгебраическому преобразованию: выразить $r$.

2. 2

   Выразим множитель роста. Подставим значения и поделим обе части на $P$, чтобы избавиться от начальной суммы:

   $5790=4400(1+r)^5\ \Longrightarrow\ (1+r)^5=\frac{5790}{4400}=1.3159090909\ldots$

   Это число показывает общий прирост за пять лет — деньги выросли примерно на $31{,}6\%$ за весь срок, а не за год.

3. 3

   Избавимся от степени с помощью корня пятой степени. Возведём обе части в степень $\tfrac15$, чтобы перейти от общего роста к годовому:

   $1+r=\left(1.3159090909\right)^{1/5}=1.05644083.$

   Частая ошибка — просто разделить общий прирост на $5$; тогда получится примерно $6{,}3\%$, что неверно, ведь при капитализации рост происходит мультипликативно, а не аддитивно.

4. 4

   Вычтем 1 и переведём в проценты.

   $r=1.05644083-1=0.05644083=5.644083\%.$

5. 5

   Округлим и проверим. До одной десятой получаем $\mathbf{5.6\%}$. Проверим оба варианта округления относительно целевого баланса: 4400(1.056)^5=\5{,}777.93$,$4400(1.057)^5=$5{,}805.34$, а неокруглённая ставка даёт ровно$$5{,}790.00$. Так как$5.644%$меньше середины$5.65%$, округляем **вниз** до$5.6%$, и именно$5.6%$ ближе к искомому значению.