Найти точки пересечения окружности (x − 0,5334)² + (y − 0,5334)² = 0,3475² и прямой √3/3 · x − y = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем уравнение прямой через $y$.

   $y=\frac{\sqrt3}{3}x=\frac{x}{\sqrt3}\approx 0.5773503\,x$

   Прямая проходит через начало координат под углом $30^\circ$, так как её угловой коэффициент равен $\tan 30^\circ$.

2. 2

   Подставим выражение для $y$ в уравнение окружности. Это позволяет свести систему двух уравнений к одному квадратному относительно $x$:

   $(x-0.5334)^2+\left(\frac{x}{\sqrt3}-0.5334\right)^2=0.3475^2$

   Раскроем скобки и приведём подобные, получая $Ax^2+Bx+C=0$, где

   $A=1+\frac13=\frac43,\qquad B=-2(0.5334)-\frac{2(0.5334)}{\sqrt3}=-1.6827173,\qquad C=2(0.5334)^2-0.3475^2=0.4482749$

3. 3

   Проверим дискриминант перед решением.

   $\Delta=B^2-4AC=2.8315374-2.3907993=0.4407381>0$

   Положительный дискриминант означает, что прямая действительно пересекает окружность в двух точках; если бы он был равен нулю — была бы касательная, а если отрицательный — прямая не пересекает окружность вовсе. Проверка дискриминанта заранее показывает, сколько решений ожидать.

4. 4

   Решим квадратное уравнение.

   $x=\frac{1.6827173\pm\sqrt{0.4407381}}{2(4/3)}=\frac{1.6827173\pm 0.6638811}{2.6666667}$

   $x_1=0.879974,\qquad x_2=0.382064$

5. 5

   Восстановим $y$-координаты по уравнению прямой.

   $y_1=0.5773503(0.879974)=0.508053,\qquad y_2=0.5773503(0.382064)=0.220585$

   Таким образом, точки пересечения — $(0.8800,\,0.5081)$ и $(0.3821,\,0.2206)$.

6. 6

   Проверим, что обе точки действительно лежат на окружности. Подставляя обратно, $(0.879974-0.5334)^2+(0.508053-0.5334)^2=0.120756=0.3475^2\;\checkmark$, и аналогично для второй точки с точностью до двенадцатого знака. Заметим, что округление первой точки до $(0.8806,\,0.5084)$ даст отклонение от окружности примерно $4\times 10^{-4}$.