В трёхзначном числе цифра десятков равна 0, а удвоенная цифра сотен на 2 больше цифры единиц. При перестановке двух его цифр получается число на 198 больше. Найдите это число.

Step-by-step solution

1. 1

   Записываем число через его цифры. Пусть цифры равны $a$ (сотни), $b$ (десятки) и $c$ (единицы). По условию цифра десятков равна $0$, то есть $b=0$, и число имеет вид

   $N=100a+0+c=100a+c$

2. 2

   Переводим второе условие в уравнение. Удвоенная цифра сотен на $2$ больше цифры единиц:

   $2a=c+2$

3. 3

   Выясняем, какая перестановка может увеличить число. Перестановка цифр сотен и десятков увела бы $a$ в разряд десятков и сделала число меньше; то же самое верно для перестановки десятков и единиц. Увеличить число может только обмен цифр сотен и единиц, дающий $100c+a$:

   $100c+a=(100a+c)+198$

   $99c-99a=198\ \Longrightarrow\ c-a=2$

4. 4

   Решаем систему из двух уравнений. Из двух условий получаем $c=2a-2$ и $c=a+2$. Приравнивая их:

   $2a-2=a+2\ \Longrightarrow\ a=4$

   $c=a+2=6$

5. 5

   Собираем число и проверяем оба условия. Искомое число — $N=406$. Удвоенная цифра сотен: $2\times 4=8$, а цифра единиц плюс $2$ даёт $6+2=8$ $\checkmark$. Перестановка:

   $604-406=198\quad\checkmark$

   Оба условия выполняются, значит число равно $406$.