Найдите четырёхзначное число, кратное 12, произведение цифр которого больше 25, но меньше 30. Приведите любой такой пример.

Step-by-step solution

1. 1

   Сужаем возможные значения произведения цифр. Произведение должно быть $26$, $27$, $28$ или $29$. Проверим, можно ли получить каждое из них как произведение четырёх цифр от $1$ до $9$ (если есть ноль, произведение будет $0$):

   $26=2\times 13\ \text{— требуется множитель }13,\ \text{невозможно}$

   $29\ \text{является простым и}>9,\ \text{невозможно}$

   $27=3^3=1\times 3\times 3\times 3\ \text{— в принципе возможно}$

   $28=2^2\times 7=1\times 2\times 2\times 7\ \text{или}\ 1\times 1\times 4\times 7\ \text{— возможно}$

2. 2

   Вспомним признак делимости на 12. Так как $12=4\times 3$ с $\gcd(4,3)=1$, число должно делиться и на $4$, и на $3$:

   $\text{last two digits form a multiple of }4,\qquad \text{digit sum is a multiple of }3$

3. 3

   Исключаем произведение цифр 27. Единственный набор цифр — $\{1,3,3,3\}$, их сумма $10$ — не делится на $3$, значит, ни одна перестановка не делится на $3$, а значит, и на $12$. Остаётся только произведение $28$.

4. 4

   Разбираем подходящие наборы цифр для 28. Для $\{1,2,2,7\}$ сумма цифр $12$, делится на $3$ $\checkmark$, остаётся только проверить делимость на $4$. Для $\{1,1,4,7\}$ сумма $13$, не делится на $3$, этот набор не подходит. Переставляя $1,2,2,7$ так, чтобы две последние цифры образовали число, делящееся на $4$ (это $12$ или $72$), получаем полный список:

   $1272,\quad 2172,\quad 2712,\quad 7212$

5. 5

   Проверим один из ответов полностью. Возьмём $N=1272$:

   $1272\div 12=106\quad\checkmark$

   $1\times 2\times 7\times 2=28,\qquad 25<28<30\quad\checkmark$

   Полный перебор всех четырёхзначных чисел, делящихся на $12$, подтверждает, что только эти четыре числа подходят, поэтому любой из них можно привести в ответе.