Все цифры трёхзначного числа различны. Если записать его цифры в обратном порядке, получится второе число; разность первого и второго равна 396. Найдите наименьшее такое число.

Step-by-step solution

1. 1

   Записываем разность в развёрнутом виде. Пусть цифры равны $a$, $b$, $c$:

   $(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c)$

   Цифра десятков сокращается, поэтому разность зависит только от первой и последней цифры.

2. 2

   Переводим данную разность в условие на цифры.

   $99(a-c)=396\ \Longrightarrow\ a-c=4$

3. 3

   Минимизируем, начиная со старшего разряда. Чтобы число было как можно меньше, сначала делаем как можно меньше $a$. Так как $a=c+4$ и $c\ge 0$, наименьший допустимый вариант — это

   $c=0,\qquad a=4$

   При меньшем $a$ последняя цифра оказалась бы отрицательной.

4. 4

   Берём наименьшую цифру десятков, при которой все цифры различны. Цифры $4$ и $0$ уже заняты, поэтому $b$ не может быть ни $4$, ни $0$. Ближайшая свободная цифра — это

   $b=1\ \Longrightarrow\ N=410$

5. 5

   Проверяем вычитание. При перестановке цифр числа $410$ получается запись $014$, то есть число $14$:

   $410-14=396\quad\checkmark$

   Цифры $4$, $1$, $0$ попарно различны $\checkmark$. Сравните это с максимальным вариантом той же задачи: там вместо минимизации ищут максимум и приходят к $985$ — общий двигатель в обоих случаях один и тот же, $a-c=4$.