Трёхзначное число, первая и последняя цифры которого различны, при перестановке цифр в обратном порядке даёт второе число. Разность исходного и обратного равна 396. Найдите наибольшее такое число.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем оба числа в развернутом виде. Пусть цифры — $a$, $b$, $c$ (где $a\ne 0$):

   $N=100a+10b+c,\qquad N'=100c+10b+a$

2. 2

   Вычтем и заметим, что средняя цифра исчезает.

   $N-N'=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99a-99c=99(a-c)$

   Цифра десятков $b$ полностью сокращается — именно в этом и состоит суть задачи: она может быть любой.

3. 3

   Рассмотрим разность между первой и последней цифрами.

   $99(a-c)=396\ \Longrightarrow\ a-c=\frac{396}{99}=4$

   Значит, первая цифра ровно на $4$ больше последней.

4. 4

   Максимизируем число поразрядно, начиная со старшего. Наибольшее значение даёт максимальная сотня: $a=9$, тогда $c=5$. Далее максимизируем десятки — условие задачи требует различия только первой и последней цифры, поэтому $b$ может быть $9$:

   $N=995$

5. 5

   Проверим решение и объясним, почему не подходит 985.

   $995-599=396\quad\checkmark$

   Частая ошибка — считать, что все цифры должны быть разными, что приводит к $b=8$ и числу $985$ ($985-589=396$). Но $995$ больше и полностью удовлетворяет условиям, значит, это правильный ответ.