Найдите трёхзначное число A, у которого сумма цифр делится на 12, сумма цифр числа A + 6 тоже делится на 12, причём A больше 600 и меньше 900.

Step-by-step solution

1. 1

   Вспомним единственный факт, который управляет всеми задачами такого вида. При прибавлении $k$ сумма цифр либо увеличивается ровно на $k$ (если переносов нет), либо уменьшается на $9$ за каждый перенос. Точнее, один перенос из разряда единиц меняет сумму цифр на $k-9$.

2. 2

   Исключаем случай без переноса. Если $12\mid S$ и переноса нет, новая сумма равна $S+6$, что даёт остаток $6$ по модулю $12$ — никогда не нуль. Значит, прибавление $6$ обязано вызвать хотя бы один перенос, то есть цифра единиц $b$ удовлетворяет условию $b\ge 4$.

3. 3

   Смотрим, что даёт ровно один перенос. При одном переносе сумма цифр меняется на $6-9=-3$, то есть становится $S-3$. Одновременно $12\mid S$ и $12\mid(S-3)$ выполняться не могут, поэтому переносов нужно два: должен «перевернуться» и разряд десятков, а для этого цифра десятков обязана быть равной $9$. Два переноса меняют сумму на $6-9-9=-12$, и $S-12$ кратно $12$ всякий раз, когда кратно $S$.

4. 4

   Накладываем условия на цифры. Запишем $A=\overline{hab}$, где $h\in\{6,7,8\}$, $a=9$ и $b\ge 4$. Требуется $h+9+b\equiv 0\pmod{12}$, то есть $h+b\equiv 3\pmod{12}$, откуда $h+b=15$ (единственное достижимое значение при $h\le 8$, $b\le 9$):

   $(h,b)=(6,9),\ (7,8),\ (8,7).$

5. 5

   Выписываем и проверяем.

   $699\to 6+9+9=24,\quad 705\to 7+0+5=12\ \checkmark$
   $798\to 24,\quad 804\to 12\ \checkmark$
   $897\to 24,\quad 903\to 12\ \checkmark$

   Полный перебор от $601$ до $899$ даёт ровно эти три числа, так что любое из них — верный ответ.