Найдите трёхзначное число A, у которого сумма цифр делится на 5, сумма цифр числа A + 4 тоже делится на 5, причём A больше 350 и меньше 400.

Step-by-step solution

1. 1

   По условию сразу определяем цифру сотен. Любое $A$ с условием $350<A<400$ начинается с $3$, поэтому запишем $A=\overline{3ab}$, где цифра десятков $a\in\{5,6,7,8,9\}$, а цифра единиц $b\in\{0,\ldots,9\}$. Сумма цифр равна $S=3+a+b$.

2. 2

   Разбираемся, что прибавление 4 делает с суммой цифр. Случаев всего два:

   • если $b\le 5$, переноса нет и сумма цифр увеличивается на $4$: $S\to S+4$;
   • если $b\ge 6$, цифра единиц «перескакивает», а цифра десятков увеличивается на $1$, поэтому сумма цифр меняется на $4-10+1=-5$: $S\to S-5$.

   В этом вся суть. Если $5\mid S$, то $S+4$ никогда не кратно $5$, а $S-5$ кратно всегда.

3. 3

   Заключаем, что перенос обязателен. Первый случай невозможен, значит нужно $b\ge 6$ — и, чтобы переноса из разряда десятков не возникло, ещё $a\le 8$ (цифра десятков, равная $9$, ушла бы в сотни и снова изменила бы всю арифметику).

4. 4

   Накладываем условие на сумму цифр. При $b\in\{6,7,8,9\}$ и $a\in\{5,6,7,8\}$ требуется

   $3+a+b\equiv 0\pmod 5.$

   Подходят пары $(a,b)=(5,7)$ с $S=15$, $(6,6)$ с $S=15$ и $(8,9)$ с $S=20$.

5. 5

   Выписываем и проверяем решения.

   $A=357:\ 3+5+7=15,\quad 361\to 3+6+1=10\ \checkmark$
   $A=366:\ 3+6+6=15,\quad 370\to 3+7+0=10\ \checkmark$
   $A=389:\ 3+8+9=20,\quad 393\to 3+9+3=15\ \checkmark$

   Полный перебор всех целых чисел от $351$ до $399$ подтверждает, что других нет. Любое из этих трёх чисел годится в качестве ответа.