Найдите трёхзначное число A, у которого сумма цифр делится на 4, сумма цифр числа A + 2 тоже делится на 4, и при этом A больше 200 и меньше 400.

Step-by-step solution

1. 1

   Записываем общий вид. При $200<A<400$ цифра сотен $h$ равна $2$ или $3$. Запишем $A=\overline{hab}$ и обозначим сумму цифр $S=h+a+b$.

2. 2

   Выясняем, как прибавление 2 действует на сумму цифр.

   • Без перехода через разряд ($b\le 7$): $S\to S+2$.
   • Переход в разряде единиц ($b\in\{8,9\}$, $a\le 8$): цифра единиц уменьшается на $8$, а цифра десятков растёт на $1$, поэтому $S\to S-7$.
   • Двойной переход ($b\in\{8,9\}$ и $a=9$): переполняется и разряд десятков, поэтому $S\to S-16$.
3. 3

   Отбрасываем случай без перехода. Если $4\mid S$, то $S+2$ даёт остаток $2$ и нулём быть не может. Значит, $b\in\{8,9\}$ обязательно. При одиночном переходе $S\to S-7$, а $S-7$ кратно $4$ только при $S\equiv 3\pmod 4$ — что противоречит условию $4\mid S$. Остаётся единственный вариант — двойной переход, для которого нужно ещё и $a=9$: тогда $S\to S-16$, и кратность четырём сохраняется автоматически.

4. 4

   Накладываем условие на сумму цифр при a = 9. Нужно, чтобы $h+9+b\equiv 0\pmod 4$ при $b\in\{8,9\}$:

   • $h=2$: из $11+b\equiv 0$ следует $b=9$, и тогда $S=20$;
   • $h=3$: из $12+b\equiv 0$ следует $b=8$, и тогда $S=20$.
5. 5

   Выписываем ответы и проверяем.

   $299\to 2+9+9=20,\quad 301\to 3+0+1=4\ \checkmark$
   $398\to 3+9+8=20,\quad 400\to 4+0+0=4\ \checkmark$

   Полный перебор от $201$ до $399$ выдаёт ровно эти два числа, так что подходит любое из них.