Найдите трёхзначное число A, у которого сумма цифр делится на 6, сумма цифр числа A + 3 тоже делится на 6, причём A больше 350 и меньше 400.

Step-by-step solution

1. 1

   Фиксируем вид числа. Из $350<A<400$ следует, что цифра сотен равна $3$, поэтому $A=\overline{3ab}$, где $a\in\{5,6,7,8,9\}$, а сумма цифр $S=3+a+b$.

2. 2

   Разбираем, как прибавление 3 меняет сумму цифр. Случаев ровно два:

   • Без переноса ($b\le 6$): цифра единиц растёт на $3$, поэтому $S\to S+3$.
   • С переносом ($b\ge 7$): цифра единиц уменьшается на $7$, а цифра десятков растёт на $1$, поэтому $S\to S+3-10+1=S-6$.
3. 3

   Исключаем случай без переноса. Если $6\mid S$, то $S+3$ при делении на $6$ даёт остаток $3$ и никогда не $0$. Значит, перенос обязателен, и

   $b\in\{7,8,9\}.$

   В случае с переносом $S\to S-6$, а это кратно $6$ автоматически всякий раз, когда кратно $S$, — второе условие выполняется само собой.

4. 4

   Накладываем условие на сумму цифр. Требуется $3+a+b\equiv 0\pmod 6$ при $a\in\{5,\ldots,9\}$ и $b\in\{7,8,9\}$. Подходят пары $(a,b)=(6,9),(7,8),(8,7)$, каждая из которых даёт $S=18$.

5. 5

   Выписываем и проверяем ответы.

   $369\to 3+6+9=18,\quad 372\to 3+7+2=12\ \checkmark$
   $378\to 18,\quad 381\to 12\ \checkmark$
   $387\to 18,\quad 390\to 12\ \checkmark$

   Перебор всех целых чисел от $351$ до $399$ подтверждает, что других вариантов нет.