Найдите двузначное число, сумма цифр которого равна 7, а разность числа десятков и числа единиц в 43 раза меньше самого числа.

Step-by-step solution

1. 1

   Обозначаем цифры и записываем число в позиционном виде. Пусть $a$ — цифра десятков, $b$ — цифра единиц, причём $1\le a\le 9$ и $0\le b\le 9$. Само число равно

   $N=10a+b,$

   а вовсе не $ab$ — именно такое разложение превращает задачу про цифры в обычную алгебру.

2. 2

   Переводим оба предложения условия в уравнения. Сумма цифр даёт $a+b=7$. Фраза «разность $a-b$ в $43$ раза меньше $N$» означает, что $N$ в $43$ раза больше этой разности:

   $10a+b=43(a-b).$

3. 3

   Упрощаем второе уравнение.

   $10a+b=43a-43b\ \Longrightarrow\ 44b=33a\ \Longrightarrow\ 4b=3a.$

   Деление на общий множитель $11$ и делает связь читаемой: цифры относятся как $a:b=4:3$.

4. 4

   Соединяем с условием на сумму цифр. Из $4b=3a$ получаем $a=\tfrac{4b}{3}$ и подставляем в $a+b=7$:

   $\frac{4b}{3}+b=7\ \Longrightarrow\ \frac{7b}{3}=7\ \Longrightarrow\ b=3,\qquad a=4.$

5. 5

   Собираем число и проверяем. Число равно $N=10(4)+3=43$. Проверим оба условия: сумма цифр $4+3=7$; разность цифр $4-3=1$, и $43\div 1=43$, то есть разность действительно в $43$ раза меньше. Полный перебор всех двузначных чисел подтверждает, что $43$ — единственное решение.