Найдите сумму 0.000061 + 0.000061(1.25) + 0.000061(1.25)² + ... + 0.000061(1.25)⁹.

Step-by-step solution

1. 1

   Опознаём структуру. Каждое слагаемое получается из предыдущего умножением на $1.25$, значит перед нами геометрическая прогрессия. Выписываем параметры: первый член $a=0.000061$, знаменатель $r=1.25$, а показатели пробегают от $0$ до $9$, то есть членов ровно $n=10$. Посчитать $n$ равным $9$ — типичная ошибка.

2. 2

   Выносим общий первый член за скобки.

   $0.000061\left(1+1.25+1.25^{2}+\cdots+1.25^{9}\right)$

   В скобках остаётся аккуратная прогрессия с первым членом $1$, так что формула нужна только для неё.

3. 3

   Применяем формулу суммы конечной геометрической прогрессии. При $r\neq1$

   $S_{n}=\frac{r^{n}-1}{r-1}=\frac{1.25^{10}-1}{1.25-1}=\frac{1.25^{10}-1}{0.25}=4\left(1.25^{10}-1\right)$

   Деление на $0.25$ — то же самое, что умножение на $4$; это упрощение сохраняет арифметику точной.

4. 4

   Вычисляем степень. Так как $1.25=\tfrac54$,

   $1.25^{10}=\frac{5^{10}}{4^{10}}=\frac{9\,765\,625}{1\,048\,576}=9.313225746\ldots$

   поэтому скобка равна $4(9.313225746-1)=4(8.313225746)=33.252902984$.

5. 5

   Умножаем на первый член — аккуратно.

   $0.000061\times33.252902984=0.0020284271$

   Если провести весь расчёт в точных дробях, получится $\dfrac{531\,739\,989}{262\,144\,000\,000}=0.00202842708\ldots$ ✓, что подтверждает десятичное значение. Заметим: ответ равен $0.0020284$, а не $0.0020289$ — ошибиться в четвёртой значащей цифре здесь легко, а результат меняется примерно на $0.025\%$.

6. 6

   Проверяем порядок величины. Десять слагаемых со средним примерно $0.0002$ должны дать около $0.002$ ✓. Рост тоже сходится: последний член равен $0.000061\times1.25^{9}\approx0.000455$, то есть примерно в $7.5$ раза больше первого — как и положено при знаменателе больше $1$, применённом девять раз.