Найдите квадратный корень из 2706,225166081663.

Step-by-step solution

1. 1

   Зажимаем ответ между соседними полными квадратами. $52^2 = 2704$ и $53^2 = 2809$. Так как $2704 < 2706.225 < 2809$, корень лежит между $52$ и $53$, причём заметно ближе к $52$: подкоренное число превышает $2704$ всего на $2.225$ при ширине промежутка в $105$.

2. 2

   Строим оценку первого порядка. Вблизи $x_0 = 52$ функция «квадрат» растёт с угловым коэффициентом $2x_0 = 104$, поэтому приросту квадрата на $2.225166$ отвечает прирост корня примерно на

   $\frac{2.225166}{104} \approx 0.021396$

   что даёт оценку $52.021396$. Это в точности один шаг метода Ньютона.

3. 3

   Уточняем второй итерацией Ньютона. Итерационная формула — $x_{n+1} = \tfrac{1}{2}\left(x_n + \tfrac{N}{x_n}\right)$ при $N = 2706.225166081663$. От $x_1 = 52.021396$:

   $\frac{N}{x_1} = 52.021387, \qquad x_2 = \frac{52.021396 + 52.021387}{2} = 52.0213915$

   Метод Ньютона примерно удваивает число верных цифр за шаг — потому уже один дополнительный проход стабилизирует шесть знаков после запятой.

4. 4

   Записываем результат.

   $\sqrt{2706.225166081663} \approx 52.021391$

5. 5

   Проверяем возведением в квадрат. $52.021391^2 = 2706.225122$, что меньше подкоренного числа на $4.45 \times 10^{-5}$ — и это согласуется с обрывом корня на уровне $10^{-6}$, ведь производная $2x \approx 104$ увеличивает такую погрешность примерно в сто раз. С большим числом знаков $52.0213914278^2 = 2706.2251660844$, что совпадает с исходным числом в одиннадцати значащих цифрах.