Найдите квадратный корень из 1595.69.

Step-by-step solution

1. 1

   Зажимаем ответ между двумя целыми числами. Так как $39^2=1521$ и $40^2=1600$, а $1595.69$ лежит между ними — и заметно ближе к $1600$, — корень чуть меньше $40$.

2. 2

   Уточняем через отклонение от 40. Запишем корень как $40-d$. Тогда $(40-d)^2=1600-80d+d^2$, и нам нужно, чтобы это равнялось $1595.69$, то есть $80d-d^2=4.31$. Отбросив крошечное $d^2$, получаем $d\approx\tfrac{4.31}{80}=0.0539$, значит корень примерно равен $40-0.0539=39.946$.

3. 3

   Сужаем вилку до двух знаков, считая квадраты точно. Аккуратно вычисляем по формуле $(40-t)^2=1600-80t+t^2$:

   $39.94^2=1600-4.8+0.0036=1595.2036,\qquad 39.95^2=1600-4+0.0025=1596.0025$

   Поскольку $1595.2036<1595.69<1596.0025$, корень лежит между $39.94$ и $39.95$.

4. 4

   Исправляем вилку, которую часто приводят неверно. В некоторых разборах встречаются значения $1595.0025$ для $39.95^2$ и $1595.8016$ для $39.96^2$ — каждое ровно на $1$ меньше истинного. На самом деле это $1596.0025$ и $1596.8016$, поэтому правильная вилка — $[39.94,39.95]$, а не $[39.95,39.96]$.

5. 5

   Записываем значение с четырьмя знаками после запятой.

   $\sqrt{1595.69}=39.9460887\ldots\approx39.9461$

   Оно попадает внутрь исправленной вилки ✓ и согласуется с линейной оценкой $39.946$ из шага 2 ✓.

6. 6

   Проверяем обратным возведением в квадрат. $39.9461^2=1595.6909$ — это больше $1595.69$ всего на $0.0009$; $39.946^2=1595.6829$ — меньше на $0.0071$. Значит, $39.9461$ — лучшее округление до четырёх знаков ✓. Само число иррационально: $\sqrt{1595.69}=\tfrac{\sqrt{159569}}{10}$, а $159569$ — простое число и уж точно не полный квадрат, поэтому точной десятичной записи не существует.