Упростить квадратный корень из 198.

Step-by-step solution

1. 1

   Раскладываем подкоренное число на простые множители. Число $198$ чётное, поэтому начинаем с двойки:

   $198=2\times 99=2\times 9\times 11=2\times 3^2\times 11$

2. 2

   Выделяем часть, являющуюся полным квадратом. Только $3^2$ входит как повторяющийся простой множитель, поэтому наибольший квадратный множитель равен $9$:

   $198=9\times 22$

3. 3

   Разбиваем корень и упрощаем.

   $\sqrt{198}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{22}=3\sqrt{22}$

4. 4

   Убеждаемся, что $22$ дальше не упрощается. $22=2\times 11$, и каждый простой множитель входит ровно один раз, значит число свободно от квадратов, а $3\sqrt{22}$ — окончательный упрощённый вид. Частая ошибка — написать $\sqrt{198}=\sqrt{2}\sqrt{99}$ и остановиться: при этом квадратный множитель остаётся спрятанным внутри $99$.

5. 5

   Численная проверка. $\sqrt{22}\approx 4.6904158$, поэтому $3\sqrt{22}\approx 14.0712474$, и $14.0712474^2=198.000$ $\checkmark$.