Трёхзначное число записано различными цифрами. Если вычесть из него число из тех же цифр в обратном порядке, получится 693. Найдите наименьшее такое число.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем оба числа в разрядном виде. Пусть цифры равны $a$ (сотни), $b$ (десятки), $c$ (единицы); тогда само число равно $100a + 10b + c$, а перевёрнутое — $100c + 10b + a$.

2. 2

   Вычтем и увидим, как исчезает цифра десятков.

   $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99a - 99c = 99(a-c)$

   Средняя цифра сокращается полностью: любая такая разность кратна $99$, и $b$ на неё никак не влияет.

3. 3

   Найдём разность крайних цифр.

   $99(a-c) = 693 \quad\Longrightarrow\quad a - c = \frac{693}{99} = 7$

4. 4

   Переберём пары цифр и возьмём наименьшую цифру сотен. При $a, c \in \{0,\dots,9\}$ и $a - c = 7$ возможны только варианты $(a,c) = (7,0), (8,1), (9,2)$. Чтобы число получилось наименьшим, цифра сотен должна быть как можно меньше, поэтому берём $a = 7$, $c = 0$.

5. 5

   Выберем наименьшую допустимую цифру десятков. Число имеет вид $7b0$, и все три цифры обязаны различаться, поэтому $b \ne 7$ и $b \ne 0$. Наименьший оставшийся вариант — $b = 1$, откуда

   $710$

6. 6

   Проверим. Число из тех же цифр в обратном порядке для $710$ — это $017 = 17$, и $710 - 17 = 693$. Цифры $7, 1, 0$ различны. Любой меньший кандидат потребовал бы $a \le 6$, но тогда равенство $a - c = 7$ невозможно, поскольку $c \ge 0$; число же $700$ имеет повторяющиеся цифры, а $710$ — следующее число вида $7b0$.