Четырёхзначное число кратно 5. Его цифры записали в обратном порядке и получили снова четырёхзначное число. Разность исходного числа и полученного равна 1458. Найдите какое-нибудь такое число.

Step-by-step solution

1. 1

   Записываем оба числа в виде суммы разрядных слагаемых. Пусть цифры — это $a,b,c,d$, тогда исходное число равно

   $N=1000a+100b+10c+d,\qquad a\neq 0$

   а число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно

   $N'=1000d+100c+10b+a$

   Перевод условия про цифры на язык арифметики — это и есть весь приём; дальше идёт рутинное вычисление.

2. 2

   Определяем последнюю цифру сразу по двум условиям. Из делимости на $5$ следует $d\in\{0,5\}$. Но перевёрнутое число тоже должно быть четырёхзначным, а значит, его первая цифра $d$ не может равняться $0$. Отсюда

   $d=5$

   Именно этот шаг решает задачу: при $d=0$ перевёрнутая запись дала бы не больше трёх цифр.

3. 3

   Вычитаем и упрощаем.

   $N-N'=1000a+100b+10c+5-(5000+100c+10b+a)$

   $=999a+90b-90c-4995$

   Приравниваем это к $1458$ и переносим свободный член:

   $999a+90(b-c)=1458+4995=6453$

4. 4

   Перебираем одну цифру $a$, помня, что $b-c$ может быть отрицательной. Слагаемое $90(b-c)$ меняется от $-810$ до $810$, поэтому $999a$ обязано отличаться от $6453$ не более чем на $810$: подходит только $a=7$ (ведь $999\cdot 7=6993$, а $999\cdot 6=5994$ отстаёт на $459$, что не делится на $90$). При $a=7$:

   $6993+90(b-c)=6453\quad\Longrightarrow\quad 90(b-c)=-540\quad\Longrightarrow\quad b-c=-6$

   Обратите внимание: здесь $b-c$ отрицательна. Проверять только неотрицательные разности — та самая ловушка, из-за которой задача кажется нерешаемой.

5. 5

   Выписываем все подходящие числа и берём одно. Цифрам с условием $b-c=-6$ отвечают пары $(b,c)\in\{(0,6),(1,7),(2,8),(3,9)\}$, что даёт

   $7065,\quad 7175,\quad 7285,\quad 7395$

   Любое из них годится в ответ; наименьшее — это

   $\boxed{7065}$

6. 6

   Проверка. Число $7065$ оканчивается на $5$, значит, делится на $5$. В обратном порядке получаем четырёхзначное число $5607$, и

   $7065-5607=1458$

   как и требовалось. Тот же способ при правой части $1359$ даёт $999a+90(b-c)=6354$, то есть $a=6$ и $b-c=4$, и наименьшее решение равно $6405$.