Упростите квадратный корень из 72.

Step-by-step solution

1. 1

   Ищем наибольший множитель, являющийся полным квадратом. Полные квадраты, не превосходящие $72$, — это $4,9,16,25,36,49,64$. Перебирая их сверху вниз, находим, что $36$ делит $72$:

   $72=36\times 2$

   Начинать с наибольшего квадрата выгодно: если взять сначала $4$, получится $2\sqrt{18}$ и придётся упрощать во второй раз.

2. 2

   Разбиваем радикал по произведению. Для неотрицательных $a,b$ верно $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$:

   $\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=\sqrt{36}\cdot\sqrt2$

3. 3

   Извлекаем корень из полного квадрата.

   $\sqrt{36}=6\quad\Longrightarrow\quad\sqrt{72}=6\sqrt2$

4. 4

   Убеждаемся, что под корнем не осталось квадратов. Число $2$ простое, значит квадратных множителей больше нет и выражение упрощено до конца. То же самое через разложение на простые множители: $72=2^3\cdot 3^2$, и каждая пара одинаковых простых даёт один множитель наружу — тройка из $3^2$ и двойка из пары двоек дают $6$, а одна двойка остаётся под корнем.

5. 5

   Проверяем численно. $6\sqrt2\approx 6\times 1.4142136=8.4852816$, и возведение в квадрат даёт $72.000$ $\checkmark$.