Сократите дробь 5554/1024 и запишите её в виде смешанного числа и десятичной дроби.

Step-by-step solution

1. 1

   Сократим общие множители 2. Оба числа $5554$ и $1024$ чётные, поэтому делим каждое на $2$:

   $\frac{5554}{1024}=\frac{2777}{512}$

   Поскольку $1024=2^{10}$, единственный его простой множитель — это $2$, а значит, сокращать можно только до тех пор, пока числитель остаётся чётным.

2. 2

   Проверим, можно ли сокращать дальше. Число $2777$ нечётное, поэтому с $512=2^{9}$ у него нет общего множителя $2$. Так как в знаменателе нет других простых множителей, наибольший общий делитель равен $1$ и дробь уже несократима. Прямое вычисление подтверждает: $\gcd(2777,512)=1$ ✓.

3. 3

   Выделим целую часть делением с остатком. Сколько целых $512$ помещается в $2777$?

   $512\times5=2560,\qquad2777-2560=217$

   Так как $217<512$, неполное частное равно $5$, а остаток — $217$:

   $\frac{2777}{512}=5\frac{217}{512}$

   Проверка: $5\times512+217=2560+217=2777$ ✓.

4. 4

   Переведём в десятичную дробь — и заметим, что она конечная. Дробь обращается в конечную десятичную ровно тогда, когда в разложении её несократимого знаменателя есть только двойки и пятёрки. Здесь знаменатель равен $2^{9}$, поэтому десятичная запись обрывается не позже $9$-го знака:

   $\frac{2777}{512}=5.423828125$

   Это точное значение, а не округление: $217/512=0.423828125$ ровно.

5. 5

   Убедимся, что все три формы согласованы. Действительно, $2777/512=5.423828125$ и $5554/1024=5.423828125$ ✓ — вычислено в точной рациональной арифметике. Итого $\frac{5554}{1024}=\frac{2777}{512}=5\frac{217}{512}=5.423828125$ — четыре записи одного и того же числа.