Вычислить (a) (8^(1/3) · 0.333… − 30^(−1)) / (3^(1/2) · 3^(1.5/3) − 1/15) и (b) (2.1333… / (5^(−3) + 1/3))^(−3/2), дав ответ точными обыкновенными дробями.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала переводим все периодические десятичные дроби в обыкновенные и только потом занимаемся степенями. Для чисто периодической дроби положим $x=0.333\ldots$; тогда $10x=3.333\ldots$, и вычитание даёт $9x=3$, откуда $x=\frac39=\frac13$. Это одно и то же число — $\frac39$ просто не сокращено до конца.

   У дроби $2.133\ldots$ период начинается после одной неподвижной цифры, поэтому нужны два множителя: при $y=0.1333\ldots$ получаем $100y-10y=13.33\ldots-1.33\ldots=12$, откуда $y=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}$ и

   $2.133\ldots=2+\frac{2}{15}=\frac{32}{15}$

   Предупреждение об очень частой ловушке: $0.0333\ldots=\frac{1}{30}$, а не $\frac{3}{9}$. Сдвиг периода на один разряд вправо делит значение на $10$.

2. 2

   Упрощаем рациональные показатели в пункте (a). $8^{1/3}=\sqrt[3]{8}=2$, а так как $1{,}5=\frac32$, то $\frac{1{,}5}{3}=\frac12$, поэтому

   $3^{\frac12}\times3^{\frac12}=3^{\frac12+\frac12}=3^{1}=3$

   Именно сложение показателей при одинаковом основании превращает знаменатель в целое число.

3. 3

   Отдельно вычисляем числитель и знаменатель в (a).

   $\text{числитель}=2\cdot\frac13-\frac{1}{30}=\frac{20}{30}-\frac{1}{30}=\frac{19}{30}$

   $\text{знаменатель}=3-\frac{1}{15}=\frac{45}{15}-\frac{1}{15}=\frac{44}{15}$

   $\frac{19/30}{44/15}=\frac{19}{30}\times\frac{15}{44}=\frac{19}{2\cdot44}=\frac{19}{88}$

4. 4

   Собираем внутреннюю дробь в (b). Так как $5^{-3}=\frac{1}{125}$,

   $5^{-3}+\frac13=\frac{3}{375}+\frac{125}{375}=\frac{128}{375}$

   $\frac{32/15}{128/375}=\frac{32}{15}\times\frac{375}{128}=\frac{32\times25}{128}=\frac{25}{4}$

   Числа подобраны так, что получается точный квадрат, делённый на точный квадрат, — это и есть подсказка к следующему шагу.

5. 5

   Применяем отрицательный дробный показатель. Отрицательный показатель переворачивает дробь, а показатель $\frac32$ означает «извлечь квадратный корень, затем возвести в куб»:

   $\left(\frac{25}{4}\right)^{-\frac32}=\left(\frac{4}{25}\right)^{\frac32}=\left[\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\right]^{\frac32}=\left(\frac{2}{5}\right)^{3}=\frac{8}{125}$

6. 6

   Проверяем оба ответа в десятичном виде. $\frac{19}{88}=0.2159\ldots$, и напрямую $\frac{0.6333}{2.9333}=0.2159$. Для (b): $\frac{8}{125}=0.064$, и $6.25^{-1.5}=0.064$. Оба значения совпадают.