Докажите, что 369³ − 219³ делится на 1350.

Step-by-step solution

1. 1

   Воспользуемся формулой разности кубов вместо непосредственного возведения в степень. Применим $a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)$ при $a=369$, $b=219$:

   $369^3-219^3=(369-219)\left(369^2+369\cdot 219+219^2\right)=150\left(369^2+369\cdot 219+219^2\right)$

   Первый множитель уже содержит большую часть числа $1350$.

2. 2

   Сравним $150$ с требуемым $1350$. Заметим, что

   $1350=150\cdot 9$

   Значит, вся задача сводится к тому, чтобы доказать делимость второго множителя на $9$. Такой подход позволяет избежать громоздких вычислений.

3. 3

   Покажем, что второй множитель кратен $9$. Оба числа $369$ и $219$ делятся на $3$: $369=3\cdot 123$, $219=3\cdot 73$. Поэтому каждый член суммы $369^2+369\cdot 219+219^2$ содержит множитель $3^2=9$:

   $369^2+369\cdot 219+219^2=9\left(123^2+123\cdot 73+73^2\right)$

   Следовательно, второй множитель — это $9$, умноженное на целое число, и вычислять само выражение не требуется.

4. 4

   Запишем итоговое выражение.

   $369^3-219^3=150\cdot 9\left(123^2+123\cdot 73+73^2\right)=1350\left(123^2+123\cdot 73+73^2\right)$

   То есть выражение делится на $1350$, поскольку оно равно $1350$, умноженному на целое число.

5. 5

   Проверим вычисления на конкретных числах. Внутренняя сумма равна $15129+8979+5329=29437$, значит

   $369^3-219^3=1350\cdot 29437=39\,739\,950$

   Прямое вычисление подтверждает: $369^3=50\,243\,409$, $219^3=10\,503\,459$, их разность $39\,739\,950\;\checkmark$, а $39\,739\,950\div 1350=29\,437$ — целое число.