В летнем лагере 54 мальчика и 48 девочек. Их делят на группы так, чтобы в каждой было одинаковое число мальчиков и одинаковое число девочек, и все были распределены. Каково наибольшее возможное число групп?

Step-by-step solution

1. 1

   Переведём условие на язык делимости. Пусть есть $g$ групп, в каждой по $b$ мальчиков и $h$ девочек. Тогда $g b = 54$ и $g h = 48$. Значит, $g$ должно делить и $54$, и $48$ — то есть число групп есть общий делитель этих чисел, а «наибольшее возможное» — это наибольший общий делитель.

2. 2

   Разложим оба числа на простые множители.

   $54=2\times 3^3,\qquad 48=2^4\times 3$

3. 3

   Берём минимальную степень каждого общего простого множителя. Общими простыми являются $2$ и $3$:

   $\gcd(54,48)=2^{\min(1,4)}\times 3^{\min(3,1)}=2\times 3=6$

4. 4

   Проверим, что такое разбиение возможно. При $g=6$:

   $\frac{54}{6}=9\ \text{мальчиков в группе},\qquad \frac{48}{6}=8\ \text{девочек в группе}$

   Оба значения целые, и $6\times 9=54$, $6\times 8=48$, то есть никто не остаётся вне группы.

5. 5

   Убедимся, что 7 и более групп невозможны. Делители $54$ — $1,2,3,6,9,18,27,54$, делители $48$ — $1,2,3,4,6,8,12,16,24,48$. Общие делители только $1,2,3,6$, значит, $6$ — действительно наибольший. Любое большее число не делит хотя бы одно из исходных чисел. В качестве проверки: по алгоритму Евклида $54=48+6$, $48=8\times 6+0$, значит, $\gcd=6$.