Плакат размером 64 см на 36 см нужно разрезать на одинаковые квадраты без остатка. Какова наибольшая возможная сторона квадрата и наименьшее число квадратов?

Step-by-step solution

1. 1

   Переведём условие «без остатка» в делимость. Если сторона квадрата $s$, то по каждой стороне плаката должно уместиться целое число квадратов, то есть $64$ и $36$ должны делиться на $s$ нацело:

   $s\mid 64\quad\text{и}\quad s\mid 36$

   Иначе говоря, $s$ — это общий делитель чисел $64$ и $36$, а наибольший возможный $s$ — их наибольший общий делитель (НОД). Вся суть задачи — в этой делимости: геометрия лишь подсказывает, что делить нужно обе стороны.

2. 2

   Находим НОД через разложение на простые множители.

   $64=2^6,\qquad 36=2^2\times3^2$

   В НОД входят только общие простые множители с наименьшей из степеней. Простое число $3$ есть только в $36$, значит, оно не входит в НОД; число $2$ встречается в $64$ с показателем $6$, а в $36$ — с $2$, значит, берём $2^2$:

   $\gcd(64,36)=2^2=4$

   Значит, наибольшая сторона квадрата — $4$ см. (По алгоритму Евклида: $64=1\cdot36+28$, $36=1\cdot28+8$, $28=3\cdot8+4$, $8=2\cdot4+0$, последний ненулевой остаток — $4$.)

3. 3

   Считаем количество квадратов по каждой стороне.

   $\frac{64}{4}=16\ \text{квадратов по длине},\qquad \frac{36}{4}=9\ \text{квадратов по ширине}$

   Оба деления дают целые числа, значит, разрезать можно без остатка.

4. 4

   Перемножаем, чтобы получить общее число квадратов.

   $16\times9=144\ \text{квадратов}$

   Проверим по площадям: площадь плаката $64\times36=2304$ см², площадь одного квадрата $4\times4=16$ см², $2304\div16=144$. ✓ Оба способа дают одинаковый результат, так как все квадраты полностью покрывают лист.

5. 5

   Объясним, почему наибольший квадрат даёт наименьшее число частей. Количество квадратов равно $\dfrac{2304}{s^2}$, и оно уменьшается при увеличении $s$. Поэтому максимальная сторона квадрата и минимальное число частей — это одна и та же задача: ответ — $\gcd(64,36)=4$. Любой меньший общий делитель тоже подойдёт, но квадратов будет больше: при $s=2$ получится $576$ штук, при $s=1$ — $2304$.