Ленту можно разрезать точно на куски по 9 см или точно на куски по 12 см. Какова наименьшая возможная длина ленты?

Step-by-step solution

1. 1

   Переведём условие задачи на язык делимости. «Разрезать точно на куски по 9 см» означает, что длина $L$ — это кратное $9$; «точно на куски по 12 см» — $L$ кратно $12$. Значит, $L$ — общее кратное чисел $9$ и $12$, а «наименьшая» длина — это наименьшее общее кратное (НОК), а не наибольший общий делитель, с которым часто путают.

2. 2

   Разложим оба числа на простые множители.

   $9=3^2,\qquad 12=2^2\times 3$

3. 3

   Берём наибольшую степень каждого простого множителя. Для НОК оставляем наибольшую степень каждого простого, встречающегося хотя бы в одном числе: $2^2$ берём из $12$, $3^2$ — из $9$.

   $\operatorname{lcm}(9,12)=2^2\times 3^2=4\times 9=36$

4. 4

   Проверим, что обе длины делят результат нацело.

   $36\div 9=4\ \text{части},\qquad 36\div 12=3\ \text{части}$

   Оба результата — целые числа, значит, $36$ см действительно подходит.

5. 5

   Убедимся, что меньшие длины не подходят. Кратные $12$ до $36$ — это $12$ и $24$; ни одно из них не делится на $9$ без остатка ($12\div9$ и $24\div9$ — нецелые). Значит, $36$ см — действительно минимальная длина ленты ✓.