Дроби 2/3, 5/8, 8/13, 11/18, ... подчиняются одной закономерности. Один из следующих членов имеет вид X/253, а другой 1499/Y. Найдите наибольший общий делитель чисел X и Y.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассматриваем числители и знаменатели как две отдельные последовательности. Они друг от друга не зависят, поэтому каждую можно описать сама по себе. Числители $2,5,8,11,\dots$ растут на $3$; знаменатели $3,8,13,18,\dots$ растут на $5$. Обе последовательности арифметические.

2. 2

   Записываем формулу $n$-го члена для каждой. По формуле $\text{первый}+d(n-1)$:

   $\text{числитель}=2+3(n-1)=3n-1,\qquad \text{знаменатель}=3+5(n-1)=5n-2$

   Проверим при $n=4$: $3(4)-1=11$ и $5(4)-2=18$, что совпадает с $\tfrac{11}{18}$.

3. 3

   Находим член со знаменателем 253. Из $5n-2=253$ получаем $n=51$ — число целое, значит этот член действительно принадлежит последовательности. Его числитель равен

   $X=3(51)-1=152$

4. 4

   Находим член с числителем 1499. Из $3n-1=1499$ получаем $n=500$, снова целое число. Его знаменатель равен

   $Y=5(500)-2=2498$

5. 5

   Раскладываем оба числа на множители, прежде чем искать НОД. С четырёхзначным числом угадывать опасно:

   $152=2^3\times 19,\qquad 2498=2\times 1249$

   причём $1249$ — простое число (оно не делится ни на одно простое до $35$).

6. 6

   Берём общую часть разложений. Общий простой множитель только один — это $2$, и в $2498$ он входит в первой степени, поэтому

   $\gcd(152,\,2498)=2$

   Алгоритм Евклида даёт то же самое: $2498=16\cdot152+66$, $152=2\cdot66+20$, $66=3\cdot20+6$, $20=3\cdot6+2$, $6=3\cdot2+0$.