Найдите наибольший шестизначный палиндром, который делится на 45.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем общий вид шестизначного палиндрома. Такое число имеет вид $abccba$, то есть

   $N=\overline{abccba},\qquad a\neq 0$

   Свободными остаются только $a$, $b$, $c$ — всего три цифры, а не шесть.

2. 2

   Разложим 45 на взаимно простые множители. Так как $45=9\times 5$ и $\gcd(9,5)=1$, число должно делиться и на $9$, и на $5$. Это даёт два независимых условия на цифры.

3. 3

   Используем делимость на 5, чтобы определить $a$. Последняя цифра должна быть $0$ или $5$. В палиндроме последняя цифра совпадает с первой, а первая цифра шестизначного числа не может быть $0$. Значит,

   $a=5,\qquad N=\overline{5bccb5}$

4. 4

   Применим делимость на 9, чтобы ограничить $b+c$. Сумма цифр равна

   $5+b+c+c+b+5=10+2b+2c=2(b+c+5)$

   Это число должно делиться на $9$. Так как $\gcd(2,9)=1$, множитель $2$ можно отбросить:

   $b+c+5\equiv 0\pmod 9\ \Longrightarrow\ b+c\equiv 4\pmod 9$

   То есть $b+c=4$ или $b+c=13$ (только эти значения возможны для суммы двух цифр).

5. 5

   Максимизируем значение числа, начиная слева. При $a=5$ следующая по значимости свободная цифра — $b$, поэтому выбираем $b=9$. Тогда $c\equiv 4-9\equiv 4\pmod 9$, то есть $b+c=13$, отсюда $c=4$:

   $N=594495$

6. 6

   Проверим оба условия делимости. Сумма цифр: $5+9+4+4+9+5=36$, а $36=4\times 9$ $\checkmark$. Последняя цифра $5$ $\checkmark$. Проверим деление напрямую:

   $594495\div 45=13211\quad\checkmark$

   Проверка всех шестизначных палиндромов показывает, что большего числа, удовлетворяющего условиям, нет, значит, $594495$ — ответ.