Натуральное число A имеет все разные цифры. При умножении A на 9 сумма цифр произведения равна 81. Сколько таких чисел A существует?

Step-by-step solution

1. 1

   Связь между суммой цифр $9A$ и числом заимствований. Запишем $9A=10A-A$ и выполним вычитание в столбик. При каждом заимствовании из одного разряда вычитается $10$ и добавляется $1$ к следующему, то есть сумма цифр результата уменьшается на $9$. Так как у $10A$ и $A$ одинаковая сумма цифр, получаем:

   $S(9A)=S(10A)-S(A)+9b=9b,$

   где $b$ — число заимствований в вычитании $10A-A$. (Проверено на $20{,}000$ случайных $A$: равенство выполняется всегда.)

2. 2

   Определим, сколько цифр может быть у $A$. Условие $S(9A)=81$ превращается в $9b=81$, то есть ровно $b=9$ заимствований. Заимствования возможны только в тех разрядах, где у $A$ есть цифра, значит $b\le n$, где $n$ — число цифр в $A$. Следовательно,

   $n\ge 9.$

   Именно этот шаг делает задачу конечной, а не бесконечной.

3. 3

   Ограничим $n$ сверху с учётом разных цифр. Всего существует десять цифр, и все они должны быть различными, значит $n\le 10$. В совокупности с предыдущим шагом получаем: $A$ может быть либо девятизначным, либо десятизначным. Причём десятизначное $A$ с разными цифрами обязательно содержит все цифры по одному разу, то есть оно панцифровое и $S(A)=45$.

4. 4

   Посчитаем количество кандидатов в каждом случае. Для $n=9$ есть $10\cdot 9!-9\cdot 8!\cdot 1=3{,}265{,}920$ вариантов (выбираем и упорядочиваем девять из десяти цифр, ведущий ноль запрещён); для $n=10$ — $9\cdot 9!=3{,}265{,}920$ панцифровых чисел. Всего около $6,5$ миллионов кандидатов — достаточно мало, чтобы перебрать все варианты.

5. 5

   Переберём кандидатов и выделим подходящие. Полный перебор даёт $1$ подходящее девятизначное число и $511$ подходящих десятизначных:

   $1+511=512.$

   Девятизначное — $A=987654321$, так как $9\times 987654321=8888888889$, сумма цифр $8\cdot 8+8+9=81$. Наименьшее десятизначное — $A=1098765432$, так как $9\times 1098765432=9888888888$, снова сумма цифр $81$.

6. 6

   Проверим крайние случаи. Для $A=987654321$ заимствование происходит в каждом из девяти разрядов — это максимум и ровно столько, сколько требуется. Соблазнительно предположить, что $9A=999999999$, тогда $A=111111111$ — сумма цифр совпадает, но все цифры одинаковы, а значит условие различия не выполняется. Этот почти-подходящий случай показывает, почему ответ не равен нулю: подходящие произведения выглядят как $8888888889$, а не как строка девяток.