Дроби 3/5, 7/11, 11/17, 15/23, ... образуют закономерную последовательность. Одна из последующих дробей — A/305, другая — 1999/B. Найдите наибольший общий делитель чисел A и B.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим числители и знаменатели как две отдельные последовательности. Числители: $3,7,11,15,\ldots$ увеличиваются на $4$ каждый раз. Знаменатели: $5,11,17,23,\ldots$ увеличиваются на $6$. Обе последовательности арифметические, значит, их можно записать в явном виде:

   $\text{числитель}_n=3+4(n-1)=4n-1$

   $\text{знаменатель}_n=5+6(n-1)=6n-1$

   Проверим для $n=4$: $4(4)-1=15$ и $6(4)-1=23$ $\checkmark$.

2. 2

   Найдём номер члена, у которого знаменатель равен 305.

   $6n-1=305\ \Longrightarrow\ 6n=306\ \Longrightarrow\ n=51$

   $n$ получилось целым, значит, $305$ действительно встречается в последовательности. Тогда числитель:

   $A=4(51)-1=203$

3. 3

   Найдём номер члена, у которого числитель равен 1999.

   $4n-1=1999\ \Longrightarrow\ 4n=2000\ \Longrightarrow\ n=500$

   $B=6(500)-1=2999$

4. 4

   Разложим оба числа на множители, прежде чем искать общий делитель.

   $203=7\times 29$

   Для $B=2999$ переберём все простые до $\sqrt{2999}\approx 54{,}8$: $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53$ — ни одно не делит $2999$, значит, $2999$ — простое число.

5. 5

   Вычислим НОД. Так как $2999$ — простое, возможные общие делители только $1$ и $2999$, но $2999\nmid 203$. Проверим алгоритмом Евклида:

   $2999=14\times 203+157,\quad 203=1\times 157+46,\quad 157=3\times 46+19$

   $46=2\times 19+8,\quad 19=2\times 8+3,\quad 8=2\times 3+2,\quad 3=1\times 2+1,\quad 2=2\times 1$

   $\gcd(203,2999)=1$

   Числа взаимно просты. (Может показаться, что $2999=29\times 103$, но $29\times 103=2987$, а не $2999$ — стоит проверить умножением.)