Вычислите 4^2^2^2 − 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала определим порядок вычисления — от этого зависит ответ. В сложных степенях действует правоассоциативность: $a^{b^{c}}$ означает $a^{(b^{c})}$, а не $(a^{b})^{c}$. Если читать слева направо, получится $((4^{2})^{2})^{2}=4^{8}=65536$, что на несколько порядков меньше правильного ответа. Поэтому вычисления ведутся сверху вниз.

2. 2

   Свернём верхушку башни.

   $2^{2}=4,\qquad\text{далее}\qquad 2^{2^{2}}=2^{4}=16$

   Показатель степени у основания $4$ равен $16$, значит, выражение принимает вид $4^{16}-1$.

3. 3

   Запишем основание как степень двойки для удобства. Так как $4=2^{2}$, по свойству степени степени показатели перемножаются:

   $4^{16}=\left(2^{2}\right)^{16}=2^{32}=4\,294\,967\,296$

   Заметим, что $2^{32}$ — известная константа, поэтому длинные вычисления не требуются.

4. 4

   Выполним вычитание 1. Вычитаем единицу из всей степени, а не из показателя:

   $4^{16}-1=4\,294\,967\,296-1=4\,294\,967\,295$

5. 5

   Проверим точность. В Python с длинной арифметикой $4^{(2^{(2^{2})})}-1=4294967295$ ✓ и $2^{32}=4294967296$ ✓. Структурно $2^{32}-1$ — это наибольшее 32-битное беззнаковое число, а также разность квадратов: $(2^{16}-1)(2^{16}+1)=65535\times65537$.