Вычислить 10^0,2.

Step-by-step solution

1. 1

   Переведём десятичный показатель в дробь. Правила работы со степенями формулируются для дробных показателей, поэтому запишем $0.2$ в виде дроби:

   $0.2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$

   Сведение к $\tfrac15$ важно — это единичная дробь, а значит, речь идёт о простом корне без дополнительного возведения в степень.

2. 2

   Применим правило для дробного показателя. Для положительного основания выполняется $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$, значит

   $10^{0.2}=10^{1/5}=\sqrt[5]{10}$

   Это и есть точное значение: число, которое при возведении в пятую степень даёт $10$.

3. 3

   Оценим значение до вычислений. Так как $1^{5}=1$, а $2^{5}=32$, ответ лежит между $1$ и $2$, причём гораздо ближе к $1.5$, чем к $2$, поскольку $1.5^{5}\approx7.6$ уже близко к $10$. Такая прикидка позволяет избежать грубых ошибок.

4. 4

   Запишем десятичное значение.

   $\sqrt[5]{10}\approx1.5848932$

   Проверим обратным возведением: $1.5848932^{5}=10.000000$ — совпадает до седьмого знака, а оба вычисления $10^{0.2}$ и $10^{1/5}$ дают одинаковый результат с машинной точностью.

5. 5

   Отметим, где встречается эта константа. $10^{0.2}$ — это отношение между соседними третьоктавными полосами частот в акустике, а $10^{1/10}\approx1.2589$ (его квадратный корень) — множитель для одного децибела мощности. Также полезно помнить: $\left(10^{0.2}\right)^{5}=10^{1}=10$, то есть пять таких множителей дают ровно десятку.