Вычислите 32² − 28².

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала разглядите структуру, а потом берите калькулятор. Перед вами буквально один квадрат минус другой — это левая часть тождества

   $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$

   Здесь $a=32$ и $b=28$. Тождество заменяет два возведения в квадрат трёхзначных результатов ($1024$ и $784$) на одно вычитание, одно сложение и одно лёгкое умножение.

2. 2

   Вычислим оба множителя.

   $a-b=32-28=4,\qquad a+b=32+28=60$

   Разность мала, потому что числа стоят близко друг к другу, — именно в этом случае приём даёт наибольший выигрыш.

3. 3

   Перемножим.

   $32^{2}-28^{2}=4\times60=240$

4. 4

   Проверим длинным путём. $32^{2}=1024$ и $28^{2}=784$, поэтому $1024-784=240$ ✓. Оба пути прошли в точной целочисленной арифметике, так что об округлении беспокоиться не о чем.

5. 5

   Заметим, когда приём работает вообще. Любая разность квадратов $a^{2}-b^{2}$ с числами $a,b$ одинаковой чётности даёт чётную разность $a-b$ — здесь $4\times60$, произведение, которое считается в уме. Тот же трюк мгновенно превращает $101^{2}-99^{2}$ в $2\times200=400$, тогда как прямой путь требует двух четырёхзначных квадратов.