Решите уравнение (1 + x) в 10-й степени = 1.1207.

Step-by-step solution

1. 1

   Прочитаем уравнение как утверждение о росте. Величина выросла в $1.1207$ раза (то есть на $12.07\%$) за $10$ равных периодов, а $x$ — ставка, применяемая в каждом из них. Неизвестное заперто внутри $10$-й степени, значит обратная операция — извлечение корня.

2. 2

   Извлечём корень 10-й степени из обеих частей. $1+x = 1.1207^{1/10} = \sqrt[10]{1.1207}.$ Допустим только положительный корень: как коэффициент роста величина $1+x$ обязана быть положительной.

3. 3

   Вычислим корень через натуральные логарифмы. $\ln 1.1207 = 0.11395349$, поэтому $\tfrac{1}{10}\ln 1.1207 = 0.01139535$ и $1+x = e^{0.01139535} = 1.01146052.$

4. 4

   Найдём x. $x = 1.01146052 - 1 = 0.01146052 \approx 1.1461\%\ \text{за период}.$

5. 5

   Проверим обратным начислением. $1.01146052^{10} = 1.120700$, что возвращает заданный коэффициент роста и подтверждает ответ.

6. 6

   Сравним со ставкой на 20 периодов. Уменьшение числа периодов вдвое примерно удваивает ставку: $0.00571394 \times 2 = 0.01142788$ против точного $0.01146052$. Небольшой избыток — это поправка на сложный процент: ставка не масштабируется строго линейно с числом периодов.