Решить уравнение (1 + x) в 12-й степени минус 11.0528x = 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Сводим задачу к поиску корня. Перенесём $1$ в левую часть и обозначим $f(x)=(1+x)^{12}-11.0528x-1,$ тогда требуется решить $f(x)=0$. Это типичный вид уравнения для аннуитета или внутренней нормы доходности: коэффициент наращения за $12$ периодов против величины $11.0528$, умноженной на ставку.

2. 2

   Замечаем тривиальный корень. $f(0)=1^{12}-0-1=0$, значит $x=0$ — точное решение. Это вырожденный случай «нулевого процента», поэтому логично ожидать второй, экономически осмысленный корень.

3. 3

   Прежде чем искать второй корень, находим точку минимума. $f'(x)=12(1+x)^{11}-11.0528$, и эта производная обращается в нуль при $(1+x)^{11}=\tfrac{11.0528}{12}=0.921067$, то есть при $x=0.921067^{1/11}-1\approx-0.0074469$. Так как $f'$ возрастает по $x$, минимум единственный, причём $f(-0.0074469)\approx-0.0034829<0$.

4. 4

   Делаем вывод, что вещественных корней ровно два, и локализуем второй. Функция $f$ убывает от $f(-1)=10.0528$ до минимума, а затем возрастает обратно до $f(0)=0$, поэтому один корень лежит левее минимума. Проверяем: $f(-0.02)=+0.0057727$ и $f(-0.01)=-0.0030871$, значит корень находится в промежутке $(-0.02,-0.01)$.

5. 5

   Уточняем корень делением отрезка пополам. Многократно деля отрезок пополам, получаем $x \approx -0.01508489,$ где $f(x)$ равно нулю с точностью до $10^{-16}$. Осторожно: не стоит останавливаться около $x\approx-0.00745$ — это точка минимума, где $f=-0.0035\ne0$.

6. 6

   Проверяем и истолковываем результат. $(1-0.01508489)^{12}=0.8332697$ и $-11.0528(-0.01508489)=0.1667303$; их сумма равна $1.000000$, что совпадает с правой частью. Итак, вещественных решений два: $x=0$ и $x\approx-1.5085\%$ за период; решения с положительной ставкой нет, поскольку $f>0$ при всех $x>0$.