Производная vs дифференциал

Производная и дифференциал — тесно связанные, но различные математические объекты, и их путаница — источник многих тонких ошибок в анализе.

Производная

Производная $f'(x)$ (или $\frac{dy}{dx}$) — это функция, дающая скорость изменения $f$ в каждой точке $x$. Для $f(x) = x^2$ имеем $f'(x) = 2x$.

Численно: при $x = 3$ имеем $f'(3) = 6$ — угловой коэффициент касательной в этой точке.

Дифференциал

Дифференциал $dy$ — это бесконечно малое изменение $y$, соответствующее бесконечно малому изменению $dx$ переменной $x$:

$dy = f'(x) \, dx$

Для $y = x^2$: $dy = 2x \, dx$.

Дифференциалы позволяют записывать производные как отношения бесконечно малых — это полезно при замене переменной (замена $u$ в интегралах: $du = u'(x) dx$) и при разделении переменных в дифференциальных уравнениях.

Когда разница важна

В интегралах: $\int 2x \, dx$ использует дифференциал $dx$, а не производную.

При неявном дифференцировании: из $x^2 + y^2 = 25$ берём дифференциалы: $2x \, dx + 2y \, dy = 0$, затем выражаем $\frac{dy}{dx}$.

В физике: $dW = F \, dx$ (работа как дифференциал), а не «работа равна производной силы».

Линейное приближение

$dy$ также служит линейным приближением к $\Delta y$ (фактическому изменению) при малом $dx$:

$\Delta y \approx dy = f'(x) \, dx$

Это основа распространения погрешностей, метода Ньютона и линейно-приближённого фундамента всего анализа.

Вердикт

Используйте производную $f'(x)$, когда вам нужна скорость / функция. Используйте дифференциал $dy = f'(x) dx$, когда вам нужно бесконечно малое изменение, особенно в интегралах, при замене переменной или в ДУ.