Решить систему уравнений — значит найти значения, которые удовлетворяют всем уравнениям одновременно. У каждого из трёх стандартных приёмов есть свой конёк — знание, какой выбрать, экономит время на каждом домашнем задании.

Метод 1: Подстановка

Лучше всего, когда одна переменная уже выражена (или её легко выразить).

Порядок действий:

Выразите из одного уравнения одну переменную.
Подставьте это выражение в другое уравнение.
Решите получившееся уравнение с одной переменной.
Подставьте обратно, чтобы найти вторую переменную.

Пример: $\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}$

$y$ уже выражено. Подставляем во второе: $3x + (2x + 1) = 11$ , значит $5x = 10$ , $x = 2$ .
Подставляем обратно: $y = 2(2) + 1 = 5$ .
Решение: $(2, 5)$ .

Метод 2: Сложение (линейная комбинация)

Лучше всего, когда коэффициенты подобраны так, что переменная сокращается при сложении/вычитании.

Порядок действий:

Умножьте одно или оба уравнения на константы, чтобы коэффициенты при переменной стали противоположными (например, $+3y$ и $-3y$ ).
Сложите уравнения, чтобы исключить эту переменную.
Решите оставшееся уравнение с одной переменной.
Подставьте обратно.

Пример: $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - 3y = 6 \end{cases}$

$3y$ и $-3y$ уже противоположны. Складываем: $6x = 18$ , $x = 3$ .
Подставляем обратно: $2(3) + 3y = 12$ , $3y = 6$ , $y = 2$ .
Решение: $(3, 2)$ .

Метод 3: Матричные методы

Для больших систем (3+ переменных) или решения с помощью компьютера:

Правило Крамера: $x_i = \det(A_i) / \det(A)$ , где $A_i$ — это $A$ с $i$ -м столбцом, заменённым на свободные члены. Работает для любого размера, но вычисление $\det$ быстро растёт.
Метод Гаусса: приведите расширенную матрицу $[A | \vec{b}]$ к ступенчатому виду, затем подставьте обратно. Стандартный метод для больших систем.
Обратная матрица: $\vec{x} = A^{-1} \vec{b}$ . Работает, только если $A$ квадратная и обратимая (ненулевой определитель).

Для систем 2×2 вручную почти всегда выигрывает подстановка или сложение. Матричные методы хороши для 3+ переменных.

Три возможности для множества решений

У каждой линейной системы есть ровно одно из:

Одно единственное решение: прямые (или плоскости) пересекаются в одной точке.
Нет решений: уравнения противоречат друг другу (параллельные прямые, которые не пересекаются) — система несовместна.
Бесконечно много решений: уравнения описывают одну и ту же прямую/плоскость — система зависима.

Алгебраический признак:

« $x = 5$ » → единственное решение.
« $0 = 7$ » → противоречие → нет решений.
« $0 = 0$ » → тождество → бесконечно много решений.

Частые ошибки

Ошибки со знаком при раскрытии скобок во время подстановки. Аккуратно ставьте скобки.
Забыли умножить обе части при масштабировании в методе сложения.
Остановились после нахождения $x$ . Важны обе переменные; подставьте обратно.
Игнорируют несовместность. Если получилось $0 = 7$ , это и есть ответ («нет решений»), а не вычислительная ошибка.

Попробуйте сами

Введите любую систему в наш бесплатный решатель систем уравнений — ИИ автоматически выбирает подстановку/сложение и показывает каждый шаг.

Связанное:

Три способа решения систем уравнений

Освойте системы уравнений методами подстановки, сложения и матриц. Разобранные примеры для систем 2×2 и 3×3, а также когда каждый метод проявляет себя лучше всего.