Связанные скорости: воспроизводимая стратегия решения из 6 шагов

Задачи на связанные скорости звучат абстрактно — «лестница соскальзывает вниз по стене, с какой скоростью падает её верх?» — но все они подчиняются одному и тому же шаблону из шести шагов. Освойте рецепт, и эти задачи превращаются из пугающих в механические.

Рецепт из 6 шагов

1. Прочитайте задачу дважды и определите каждую величину. Сделайте набросок.
2. Обозначьте буквами величины, которые изменяются; константы — числами.
3. Найдите уравнение, связывающее изменяющиеся величины (геометрия, теорема Пифагора, подобные треугольники, площадь, объём…).
4. Продифференцируйте обе части по времени $t$ неявно. Каждая изменяющаяся величина даёт слагаемое $\frac{d \cdot}{dt}$.
5. Подставьте мгновенные значения только после дифференцирования. Слишком ранняя подстановка убивает информацию о скорости.
6. Решите относительно неизвестной скорости и перепроверьте единицы измерения.

Пример 1: соскальзывающая лестница

Лестница длиной 13 фт прислонена к стене. Её основание скользит наружу со скоростью 2 фт/с. С какой скоростью верх скользит вниз, когда основание находится в 5 фт от стены?

1. Переменные: $x$ = расстояние до основания, $y$ = высота верха. Обе изменяются с $t$.
2. Связь: $x^2 + y^2 = 169$ (теорема Пифагора — длина лестницы постоянна).
3. Дифференцируем: $2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$.
4. Снимок: $x = 5$, значит $y = \sqrt{169 - 25} = 12$. Дано $\frac{dx}{dt} = 2$.
5. Решаем: $2(5)(2) + 2(12)\frac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dt} = -\frac{20}{24} = -\frac{5}{6}$ фт/с.

Верх падает со скоростью $5/6$ фт/с. Отрицательный знак означает, что высота уменьшается — проверка на здравый смысл пройдена.

Пример 2: конус, наполняющийся водой

Вода льётся в конус (вершиной вниз) со скоростью $3 \text{ ft}^3/\text{min}$. У конуса высота 10 фт и радиус верха 4 фт. С какой скоростью поднимается уровень воды, когда глубина равна 6 фт?

1. Переменные: $V$ = объём воды, $h$ = глубина воды, $r$ = радиус поверхности воды.
2. Объём конуса: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Используем подобные треугольники: $r/h = 4/10 \Rightarrow r = 0.4h$.
3. Подставляем к одной переменной: $V = \frac{1}{3}\pi (0.4h)^2 h = \frac{0.16\pi}{3} h^3$.
4. Дифференцируем: $\frac{dV}{dt} = 0.16\pi h^2 \frac{dh}{dt}$.
5. Подставляем $h = 6$, $\frac{dV}{dt} = 3$: $3 = 0.16\pi (36) \frac{dh}{dt}$.
6. Решаем: $\frac{dh}{dt} = \frac{3}{5.76\pi} \approx 0.166$ фт/мин.

Частые ошибки

• Слишком ранняя подстановка чисел — производные «замораживают» связь; вы теряете информацию о том, как всё меняется.
• Забывают про цепное правило при дифференцировании чего-то вроде $r^2$ — оно становится $2r \frac{dr}{dt}$, а не $2r$.
• Не исключают лишние переменные с помощью подобных треугольников перед дифференцированием.

Попробуйте с ИИ-решателем производных

Используйте калькулятор производных, чтобы проверить любой шаг дифференцирования в задачах на связанные скорости — особенно неявные.

Связанные материалы:

• Калькулятор пределов — в основе производных лежат пределы
• Калькулятор интегралов — спутник по первообразным
• Решатель треугольников — для геометрической постановки многих задач