Интуиция нормального распределения: почему колоколообразная кривая повсюду

Колоколообразная кривая — самый часто используемый паттерн во всей статистике: рост, баллы IQ, шум измерений и десятки природных явлений группируются вокруг среднего и симметрично сужаются по краям. Эта статья сначала даёт вам интуицию, а затем формулы, которые действительно нужны.

Что означает «нормальное»

Случайная величина $X$ распределена нормально со средним $\mu$ и стандартным отклонением $\sigma$, когда её плотность подчиняется:

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

Не заучивайте это — важна форма: симметричная относительно $\mu$, с пиком в этой точке, быстро убывающая, причём два сигма уже заметно редки.

Почему она повсюду? Центральная предельная теорема

Причина — центральная предельная теорема (ЦПТ). Она утверждает: среднее многих независимых случайных воздействий стремится к нормальному распределению, независимо от того, как выглядит каждое отдельное воздействие.

Рост, например, определяется сотнями генетических и средовых факторов, каждый из которых вносит крошечный независимый вклад. Сумма приближается к колоколообразной кривой.

Правило 68-95-99,7

Для любого нормального распределения, независимо от $\mu$ или $\sigma$:

• 68 % данных попадает в $\mu \pm 1\sigma$
• 95 % в $\mu \pm 2\sigma$
• 99,7 % в $\mu \pm 3\sigma$

Это эмпирическое правило. Запомните его — оно отвечает на большинство экзаменационных вопросов за 10 секунд.

Разобранный пример

Рост взрослых мужчин в США имеет $\mu \approx 70$ дюймов и $\sigma \approx 3$ дюйма. Какая доля мужчин имеет рост от 64 до 76 дюймов?

Этот диапазон равен $70 \pm 6 = 70 \pm 2\sigma$, то есть 95 %.

Z-оценки: стандартизация любого нормального распределения

Чтобы сравнивать значения из разных нормальных распределений, переведите их в z-оценку:

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

Z-оценка — это «на сколько стандартных отклонений от среднего». Она позволяет использовать стандартное нормальное распределение $N(0, 1)$ для всех задач с помощью таблиц (или нашего калькулятора).

Пример z-оценки

Балл за тест $x = 85$ взят из $N(75, 5)$. Его z-оценка равна $z = (85 - 75)/5 = 2$. По эмпирическому правилу лишь $\approx 2{,}5\%$ баллов превосходят этот.

Типичные ошибки

• Путаница между $\sigma$ и $\sigma^2$: стандартное отклонение против дисперсии.
• Предположение, что все данные нормальны: это не так! Доход, размеры файлов и магнитуды землетрясений сильно скошены. Сначала всегда стройте гистограмму.
• Подстановка сырых чисел в эмпирическое правило — сначала переведите в z-оценки.

Попробуйте с ИИ-решателем нормального распределения

Используйте решатель нормального распределения для вычисления точных вероятностей — это лучше, чем читать таблицу на глаз.

Связанные материалы:

• Калькулятор стандартного отклонения — параметр разброса
• Калькулятор z-оценки — для стандартизации
• Среднее / медиана / мода — основы мер центральной тенденции