Проверка гипотез шаг за шагом: от H0 к p-значению

Проверка гипотез — рабочая лошадка статистического вывода, применяемая повсюду: от клинических испытаний до A/B-тестов на сайтах. И всё же это самая неправильно понимаемая тема в статистике. Это руководство один раз — внятно — проходит весь конвейер, чтобы вы поняли, что на самом деле означает p-значение.

Пять шагов

1. Сформулируйте $H_0$ и $H_1$: нулевую гипотезу (статус-кво) и альтернативную (утверждение, которое вы хотите подтвердить).
2. Выберите уровень значимости $\alpha$: обычно 0,05 или 0,01.
3. Вычислите статистику критерия по вашим данным ($z$, $t$, $\chi^2$ и т. д.).
4. Найдите p-значение: вероятность увидеть данные настолько экстремальные, если бы $H_0$ была верна.
5. Примите решение: если $p < \alpha$, отвергаем $H_0$; иначе не можем отвергнуть.

Замечание: «не можем отвергнуть» ≠ «принимаем $H_0$». У вас просто недостаточно доказательств против неё.

Одновыборочный z-критерий (разобранный пример)

Завод утверждает, что его лампочки служат в среднем 1000 часов ($\sigma = 50$). Вы тестируете 25 лампочек и измеряете $\bar x = 980$. Опровергается ли утверждение при $\alpha = 0.05$?

1. $H_0: \mu = 1000$, $H_1: \mu \ne 1000$.
2. $\alpha = 0.05$, двусторонний.
3. Статистика критерия: $z = \frac{\bar x - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{980 - 1000}{50/\sqrt{25}} = \frac{-20}{10} = -2$.
4. p-значение: $2 \cdot P(Z < -2) \approx 2 \cdot 0.0228 = 0.0456$.
5. Поскольку $0.0456 < 0.05$, отвергаем $H_0$. Среднее время службы значимо отличается от 1000 часов.

Выбор подходящего критерия

Ситуация	Критерий
Одно среднее, $\sigma$ известна	одновыборочный z-критерий
Одно среднее, $\sigma$ неизвестна, n мало	одновыборочный t-критерий
Два средних, независимые выборки	двухвыборочный t-критерий
Два связанных средних	парный t-критерий
Доля(и)	z-критерий для доли
Согласие / таблица сопряжённости	хи-квадрат

Ошибка I рода vs ошибка II рода

• I рода: отвергнуть верную $H_0$. Вероятность = $\alpha$.
• II рода: не отвергнуть ложную $H_0$. Вероятность = $\beta$.
• Мощность = $1 - \beta$: вероятность правильно обнаружить реальный эффект.

Эти три величины движутся вместе: уменьшение $\alpha$ повышает $\beta$ при фиксированном объёме выборки; увеличение объёма выборки снижает оба.

Частые ошибки

• «p-значение = вероятность того, что $H_0$ верна» — ложь. p-значение — это $P(\text{data} \mid H_0)$, а не $P(H_0 \mid \text{data})$.
• Множественные сравнения — проведение 20 тестов при $\alpha = 0.05$ гарантирует ≈1 ложноположительный результат в среднем. Используйте поправку.
• Смешение значимости с важностью — крошечный эффект при огромном $n$ может быть высоко значимым, но практически несущественным.

Попробуйте с ИИ-решателем проверки гипотез

Используйте решатель проверки гипотез, чтобы ввести свои данные и получить статистику критерия, p-значение и решение.

Связанные материалы:

• Калькулятор z-оценки — строительный блок любого z-критерия
• Калькулятор стандартного отклонения — входной показатель изменчивости
• Калькулятор нормального распределения — то, что предполагают z-критерии