Выделение полного квадрата: разбор, который наконец становится понятным

Выделение полного квадрата — один из тех алгебраических приёмов, которые ученики видят один раз и забывают. Но это единственный приём, лежащий в основе формулы корней квадратного уравнения, вершинной формы параболы и нескольких распространённых интегралов из анализа. Как только вы усвоите этот трюк, у вас появится инструмент, которым вы будете пользоваться всегда.

Основная идея

Квадрат двучлена $(x + h)^2$ раскрывается в $x^2 + 2hx + h^2$. Чтобы превратить любое выражение $x^2 + bx$ в полный квадрат, нужно прибавить $\left(\frac{b}{2}\right)^2$. В этом и заключается весь трюк.

Разобранный пример: приведённый случай

Выделите полный квадрат в $x^2 + 6x + 5$.

1. Возьмите половину линейного коэффициента: $b/2 = 3$.
2. Возведите её в квадрат: $9$.
3. Перепишите: $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$.

Мы прибавили 9 и вычли 9 — в сумме ноль, но первые три члена теперь образуют полный квадрат.

Разобранный пример: неприведённый случай

Выделите полный квадрат в $2x^2 + 12x + 7$.

1. Вынесите 2 за скобку из первых двух членов: $2(x^2 + 6x) + 7$.
2. Внутри скобки выделите полный квадрат: $x^2 + 6x + 9 - 9 = (x+3)^2 - 9$.
3. Подставьте обратно: $2((x+3)^2 - 9) + 7 = 2(x+3)^2 - 18 + 7 = 2(x+3)^2 - 11$.

Применение 1: решение квадратных уравнений

Чтобы решить $x^2 + 6x + 5 = 0$:
$(x + 3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x+3)^2 = 4 \Rightarrow x + 3 = \pm 2 \Rightarrow x = -1, -5$.

Тот же ответ, что и по формуле корней квадратного уравнения, выведенный с нуля.

Применение 2: вершина параболы

$y = 2x^2 + 12x + 7 = 2(x + 3)^2 - 11$ записано в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$. Вершина находится в точке $(h, k) = (-3, -11)$, ветви направлены вверх (поскольку $a > 0$). Это можно прочитать без анализа.

Применение 3: интегрирование

Интегралы вида $\int \frac{dx}{x^2 + 4x + 13}$ не поддаются прямой атаке, но решаются выделением полного квадрата: $x^2 + 4x + 13 = (x + 2)^2 + 9$, затем подстановка $u = x + 2$ позволяет узнать арктангенс.

Типичные ошибки

• Забыли вычесть то, что прибавили — выражение должно оставаться равным самому себе.
• Не вынесли старший коэффициент за скобку первым в неприведённых случаях.
• Делите пополам не тот коэффициент — это линейный коэффициент $b$, а не старший $a$.

Попробуйте с ИИ-решателем квадратных уравнений

Решатель квадратных уравнений показывает подход выделения полного квадрата бок о бок с формулой корней квадратного уравнения.

Связанные материалы:

• Калькулятор разложения на множители — альтернативный путь к корням
• Решатель уравнений — более широкий инструментарий для решения уравнений
• Калькулятор интегралов — для приведённого выше применения в анализе