10.752 = 9.13 × 9.8 × 0.01 × cos(a) + 9.13 × 9.8 × sin(a) を角 a について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   繰り返し現れる定数をくくり出す。 どちらの項も $9.13\cdot9.8 = 89.474$ を共有しているので、方程式全体をこれで割ると $0.01\cos\alpha_m + \sin\alpha_m = \frac{10.752}{89.474} = 0.12016899.$ となる。これは $a=0.01$、$b=1$ とした標準的な $a\cos\alpha+b\sin\alpha=c$ の形である。

2. 2

   補助角を導入する。 $\sin\alpha_m+0.01\cos\alpha_m = R\sin(\alpha_m+\varphi)$ と書く。ここで $R = \sqrt{1^2+0.01^2} = \sqrt{1.0001} = 1.00005000,\qquad \tan\varphi = \frac{0.01}{1},\ \varphi = \arctan 0.01 = 0.5729387^\circ.$ である。2 つの波を 1 つにまとめることが、この方程式を閉じた形で解けるようにしている。

3. 3

   1 つのサインの方程式に帰着させる。 $\sin(\alpha_m+\varphi) = \frac{0.12016899}{1.00005000} = 0.12016298.$

4. 4

   逆正弦の 2 つの分枝を取る。 $[0^\circ,360^\circ)$ ではサインの方程式は 2 つの解を持つ。 $\alpha_m+\varphi = 6.9015087^\circ \quad\text{または}\quad 180^\circ-6.9015087^\circ = 173.0984913^\circ.$ ここでは桁を十分に残すこと。補助角もこの逆正弦もどちらも引き算に使われるので、いずれかの誤差はそのまま $\alpha_m$ に伝わる。

5. 5

   補助角を引く。 $\alpha_m = 6.9015087^\circ - 0.5729387^\circ = 6.32857^\circ \quad\text{または}\quad \alpha_m = 173.0984913^\circ - 0.5729387^\circ = 172.52555^\circ.$ ラジアンではそれぞれ $0.110454$ と $3.011139$ である。

6. 6

   元の方程式で 2 つの解を検証する。 $\alpha_m = 6.32857^\circ$ のとき $0.89474\cos + 89.474\sin = 0.88929+9.86271 = 10.75200$。$\alpha_m = 172.52555^\circ$ のとき $0.89474(-0.9915030)+89.474(0.1300841) = -0.88714+11.63914 = 10.75200$。どちらもぴたり合う。実用上ふつうに求められるのは、小さいほうの角である。