0 以上 2π 未満の x と y について 2 sin(y) = sin(x) + sin(x + y) を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   右辺の和を積に直す。 公式 $\sin A+\sin B=2\sin\tfrac{A+B}{2}\cos\tfrac{A-B}{2}$ に $A=x+y$、$B=x$ を代入すると

   $\sin x+\sin(x+y)=2\sin\!\left(x+\frac y2\right)\cos\frac y2$

   が得られる。

2. 2

   左辺を 2 倍角の公式で書き直す。

   $2\sin y=4\sin\frac y2\cos\frac y2$

   これで両辺が共通因数 $\cos\tfrac y2$ を持つ。ここが本問の構造上の鍵である。

3. 3

   割らずに因数分解する。 すべてを一方の辺に集めると

   $2\cos\frac y2\left[2\sin\frac y2-\sin\!\left(x+\frac y2\right)\right]=0$

   となる。因数分解せずに両辺を $\cos\tfrac y2$ で割ってしまうと、$\cos\tfrac y2=0$ を満たす解が黙って捨てられる。本問の答えが不完全になる最大の原因がこれである。

4. 4

   分枝 1：$\cos\tfrac y2=0$ の場合。 $[0,2\pi)$ ではこれは $\tfrac y2=\tfrac\pi2$ を意味するので

   $y=\pi\qquad\text{任意の }x\in[0,2\pi)$

   が解になる。直接確かめられる。$2\sin\pi=0$ であり $\sin x+\sin(x+\pi)=\sin x-\sin x=0\;\checkmark$。これは 1 点ではなく、解の直線まるごとである。

5. 5

   分枝 2：$\sin\!\left(x+\tfrac y2\right)=2\sin\tfrac y2$ の場合。 サインは $1$ で抑えられるので、この分枝には

   $\left|2\sin\frac y2\right|\le 1\iff\left|\sin\frac y2\right|\le\frac12\iff y\in\left[0,\frac\pi3\right]\cup\left[\frac{5\pi}{3},2\pi\right)$

   が必要になる。許される各 $y$ に対して、対応する $x$ の値は

   $x\equiv\arcsin\!\left(2\sin\frac y2\right)-\frac y2\quad\text{または}\quad x\equiv\pi-\arcsin\!\left(2\sin\frac y2\right)-\frac y2\pmod{2\pi}$

   で与えられる。

6. 6

   解全体をまとめる。 解は水平な直線 $y=\pi$ と、分枝 2 の 2 本の曲線を合わせたものである。数値による抜き取り検査も両方の系統を裏づける。$y=\pi$ のとき $x=0.3,\,1.234,\,2.7,\,5.5$ での残差は $4\times 10^{-16}$ を下回り、分枝 2 で $y=0$ とすると $\sin x=0$ が要求されて $x=0$ と $x=\pi$ が得られ、これらは元の方程式をちょうど満たす。