Дано: cos x = √6 · sin²x. Найдите sin 2x.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим информацию о знаке, скрытую в условии. Правая часть $\sqrt6\sin^{2}x$ — неотрицательное число, так как это произведение положительного числа на квадрат. Следовательно,

   $\cos x\ge0.$

   Это важно отметить до любых преобразований: при возведении в квадрат информация о знаке $\cos x$ может потеряться, а здесь она фиксируется сразу.

2. 2

   Возведём обе части в квадрат, чтобы получить уравнение с одной переменной. Получаем $\cos^{2}x=6\sin^{4}x$. Обозначим $u=\sin^{2}x$, тогда $\cos^{2}x=1-u$:

   $1-u=6u^{2}\;\Longrightarrow\;6u^{2}+u-1=0\;\Longrightarrow\;(3u-1)(2u+1)=0.$

   Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, поэтому в конце потребуется проверить знак, используя результат шага 1.

3. 3

   Выберем допустимый корень. Корни уравнения: $u=\tfrac13$ и $u=-\tfrac12$. Второй невозможен, так как $u=\sin^{2}x\ge0$. Значит,

   $\sin^{2}x=\frac13,\qquad \sin x=\pm\frac{\sqrt3}{3}.$

4. 4

   Восстановим $\cos x$ по исходному уравнению, а не по квадрату. Подставим $\sin^{2}x=\tfrac13$ в исходное выражение:

   $\cos x=\sqrt6\cdot\frac13=\frac{\sqrt6}{3}\approx0.8165,$

   что положительно, как и ожидалось по шагу 1 — посторонних корней не появилось. Проверим: $\sin^{2}x+\cos^{2}x=\tfrac13+\tfrac69=\tfrac13+\tfrac23=1$ ✓.

5. 5

   Применим формулу двойного угла. При $\sin x=\pm\tfrac{\sqrt3}{3}$ и $\cos x=+\tfrac{\sqrt6}{3}$:

   $\sin 2x=2\sin x\cos x=2\left(\pm\frac{\sqrt3}{3}\right)\frac{\sqrt6}{3}=\pm\frac{2\sqrt{18}}{9}=\pm\frac{6\sqrt2}{9}=\pm\frac{2\sqrt2}{3}\approx\pm0.9428.$

   Оба знака возможны, так как $\cos x>0$ исключает только два из четырёх квадрантов; $x$ может быть как в первом, так и в четвёртом, и $\sin 2x$ соответственно положителен или отрицателен.