平面 z = -2x + 4y + 1 のうち、領域 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 5 の上にある部分の表面積を求めよ。厳密な値で答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   表面積の公式を思い出す。 領域 $R$ 上のグラフ $z=f(x,y)$ に対して $S=\iint_R\sqrt{1+f_x^{\,2}+f_y^{\,2}}\,dA.$ である。

2. 2

   平面を偏微分する。 $f(x,y)=-2x+4y+1$ なので、至るところで $f_x=-2$、$f_y=4$ である。$f$ が 1 次式なのでこれらは定数になり、それが積分を自明にしている。

3. 3

   被積分関数を計算する。 $\sqrt{1+(-2)^2+4^2}=\sqrt{1+4+16}=\sqrt{21}.$ 2 乗してしまえば $f_x$ の符号は関係なくなる点に注意する。

4. 4

   定数を外に出す。 $S=\iint_R\sqrt{21}\,dA=\sqrt{21}\iint_R dA=\sqrt{21}\cdot\operatorname{area}(R).$

5. 5

   底面の面積を求めて仕上げる。 長方形の面積は $3\times 5=15$ なので $S=15\sqrt{21}\approx 68.7386.$ となる。幾何的には、$\sqrt{21}$ は傾いた平面が水平方向の面積を引き伸ばす一定の倍率である。