微分方程式 (e^y + 6x)dx + x e^y dy = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   2 つの係数関数に名前を付け、完全性を判定する。

   $M(x,y)=e^y+6x,\qquad N(x,y)=xe^y$

   とすると、この方程式が完全形であるための条件は $\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$ である。ここでは

   $\frac{\partial M}{\partial y}=e^y,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=e^y$

   となって一致するので、$F_x=M$ かつ $F_y=N$ を満たすポテンシャル関数 $F(x,y)$ が存在する——積分因子は要らない。

2. 2

   $M$ を $x$ で積分して $F$ を作り始める。 $y$ を定数とみなすと、

   $F(x,y)=\int\left(e^y+6x\right)dx=xe^y+3x^2+g(y)$

   となる。積分「定数」は未知の*$y$ の関数*である。$y$ だけに依存するものは $\partial/\partial x$ で消えてしまうからである。

3. 3

   候補を $y$ で微分して $N$ と突き合わせる。

   $\frac{\partial F}{\partial y}=xe^y+g'(y)\stackrel{!}{=}N=xe^y$

4. 4

   未知関数を決定する。 両辺から $xe^y$ を消すと

   $g'(y)=0\quad\Rightarrow\quad g(y)=\text{定数}$

   が残る。$y$ 依存の項がきれいに打ち消し合うことが、完全性の条件が効いている証拠である。もし $y$ だけの項が残っていたなら、ここでそれを積分すればよいだけである。

5. 5

   一般解を陰関数の形で書く。 完全微分方程式の解は $F(x,y)=C$ の形をとる：

   $xe^y+3x^2=C$

   任意定数が $g$ の定数を吸収する。

6. 6

   答えを微分して検証する。 $xe^y+3x^2=C$ の両辺の $d$ をとると：

   $\left(e^y+6x\right)dx+xe^y\,dy=0$

   となり、まさに元の方程式である ✓。（陽に解けば、対数の中身が正である範囲で $y=\ln\frac{C-3x^2}{x}$ となる。）