-pi/4 から 3pi/4 までの 1/(3 cos^3 x + sin 2x + sin^2 x) dx の積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   置換を試す前に分母の零点を調べる。 $D(x) = 3\cos^3x+\sin 2x+\sin^2x$ とおく。$D$ が区間の内部で 0 になるなら積分そのものが存在しないので、半角の置換（ワイエルシュトラス置換）を持ち出しても無意味である。

2. 2

   両端と途中の点で D を評価する。 $D\!\left(-\tfrac{\pi}{4}\right) = \tfrac{3\sqrt2}{4}-\tfrac12 \approx 0.5607>0$、$D(0)=3>0$、$D\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 0+0+1 = 1>0$ であるが、$D\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right) = -\tfrac{3\sqrt2}{4}-\tfrac12 \approx -1.5607<0$ である。

3. 3

   中間値の定理を適用する。 $D$ は連続で $\tfrac{\pi}{2}$ と $\tfrac{3\pi}{4}$ の間で符号を変えるので、その範囲に $D(c)=0$ となる $c$ が存在する。数値的には零点はただ 1 つで $c \approx 1.9569768.$ である。したがって被積分関数 $\tfrac{1}{D(x)}$ は積分区間の内部に無限大の不連続点をもつ。

4. 4

   その零点が 1 位であることを確かめる。 $D'(c) \approx -3.3131 \neq 0$ なので、$c$ の近くではテイラー展開から $D(x) \approx D'(c)(x-c)$ となり、したがって $\frac{1}{D(x)} \approx \frac{1}{D'(c)}\cdot\frac{1}{x-c}.$ である。2 位ではなく 1 位の零点であることが、収束にとって最悪の場合にあたる。

5. 5

   模型となる積分 1/(x − c) と比べる。 $\displaystyle\int\frac{dx}{x-c} = \ln|x-c|$ であり、$x\to c$ のとき $-\infty$ に発散する。両側の広義積分がどちらも発散し、しかも一方は $-\infty$、他方は $+\infty$ へ発散するので、主値による打ち消しで通常の積分が救われることもない。

6. 6

   結論する。 積分 $\int_{-\pi/4}^{3\pi/4}\frac{dx}{3\cos^3x+\sin 2x+\sin^2x}$ は発散する。有限の値をもたない。有限になるのは $x=c$ におけるコーシーの主値だけであり、それを求めよという趣旨ならその旨を明示しなければならない。